Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6 + 6 × 3 = 6 + 18 = 24
B = (6 + 6) × 3 = 12 × 3 = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 15 + 12 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 15 et du quotient de 12 par 4.
D = 23 − 4 × 2 est une différence : c'est la différence entre 23 et le produit de 4 par 2.
E = (7 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 71 = 639 ≤ 646 < 648 = 9 × 72 : le quotient est 71, le reste 646 − 639 = 7.
646 = 9 × 71 + 7, avec 7 < 9.
27 × 31 = 837 ≤ 856 < 864 = 27 × 32 : le quotient est 31, le reste 856 − 837 = 19.
856 = 27 × 31 + 19, avec 19 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 121 = 6 × 20 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 121 = 6 × 19 + 7 : le « reste » 7 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 121 = 6 × 21 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 20, reste 1.
Comme 1 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 121 par 20 : quotient 6, reste 1.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 447 | non | oui | non | non | non |
| 5 970 | oui | oui | oui | non | oui |
| 9 836 | oui | non | non | non | non |
| 9 621 | non | oui | non | oui | non |
| 625 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
447 → 4 + 4 + 7 = 15 5 970 → 5 + 9 + 7 + 0 = 21 9 836 → 9 + 8 + 3 + 6 = 26
9 621 → 9 + 6 + 2 + 1 = 18 625 → 6 + 2 + 5 = 13
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 7 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 6 : 15
2 solutions : 270, 276.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 846, somme des chiffres 18.
« 7 est un diviseur de 140. » Vrai. 140 = 7 × 20 : le reste de la division de 140 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 45 − 2 × 9 = 45 − 18 = 27
B = 40 ÷ 8 × 3 = 5 × 3 = 15
C = (3 + 5) × 6 − 16 = 8 × 6 − 16 = 48 − 16 = 32
D = 2 × [26 − (2 + 8)] = 2 × [26 − 10] = 2 × 16 = 32
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × 3 × (9 + 4) = 3 × 3 × 13 = 9 × 13 = 117
8 × (7 + 9) + 7 = 8 × 16 + 7 = 128 + 7 = 135
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 101 = 44 × (100 + 1) = 44 × 100 + 44 × 1 = 4 400 + 44 = 4 444
F = 38 × 33 + 38 × 67 = 38 × (33 + 67) = 38 × 100 = 3 800
G = 2 × 79 × 5 = 2 × 5 × 79 = 10 × 79 = 790
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 2 × 2 × 2 = 2³ 5 × 5 = 5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (3 + 5)² = 3² + 5² » Faux. (3 + 5)² = 8² = 64, alors que 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 122 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 122 < 144 = 12²)
125 = 5³ : cube 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 3 = 5 × 36 − 3 = 180 − 3 = 177
B = (5 × 6)² − 3 = 30² − 3 = 900 − 3 = 897
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 6 = 5 × 4² − 6 = 5 × 16 − 6 = 80 − 6 = 74
B = (5a)² − 6 = (5 × 4)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 111 et 156. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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