Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 12 + 9 × 8 = 12 + 72 = 84
B = (12 + 9) × 8 = 21 × 8 = 168
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² − 19 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 19.
D = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
E = 7² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 162 = 810 ≤ 812 < 815 = 5 × 163 : le quotient est 162, le reste 812 − 810 = 2.
812 = 5 × 162 + 2, avec 2 < 5.
24 × 94 = 2 256 ≤ 2 277 < 2 280 = 24 × 95 : le quotient est 94, le reste 2 277 − 2 256 = 21.
2 277 = 24 × 94 + 21, avec 21 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 228 = 10 × 21 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 228 = 10 × 23 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 228 = 10 × 22 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 22, reste 8.
Comme 8 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 228 par 22 : quotient 10, reste 8.
3. 146 = 7 × 20 + 6
a) 146 jours font 20 semaines complètes et 6 jours.
Après 20 semaines complètes, on est de nouveau samedi. Il reste à avancer de 6 jours : samedi → dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi.
b) Dans 146 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 060 | oui | non | oui | non | oui |
| 905 | non | non | oui | non | non |
| 3 609 | non | oui | non | oui | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 2 374 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 060 → 7 + 0 + 6 + 0 = 13 905 → 9 + 0 + 5 = 14 3 609 → 3 + 6 + 0 + 9 = 18
141 → 1 + 4 + 1 = 6 2 374 → 2 + 3 + 7 + 4 = 16
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 8 + □ = 17 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 21
Une seule solution : 984.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 369, somme des chiffres 18.
« 9 est un diviseur de 180. » Vrai. 180 = 9 × 20 : le reste de la division de 180 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 26 + 2 × 8 = 26 + 16 = 42
B = 18 + 24 ÷ 8 × 3 = 18 + 3 × 3 = 18 + 9 = 27
C = (10 + 12) × 2 − 3 = 22 × 2 − 3 = 44 − 3 = 41
D = 4 × [30 − (8 + 4)] = 4 × [30 − 12] = 4 × 18 = 72
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 + 7 − (5 − 2) = 4 + 7 − 3 = 11 − 3 = 8
(9 × 4 − 9) × 4 = (36 − 9) × 4 = 27 × 4 = 108
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 52 + 17 × 48 = 17 × (52 + 48) = 17 × 100 = 1 700
F = 43 × 11 = 43 × (10 + 1) = 43 × 10 + 43 × 1 = 430 + 43 = 473
G = 85 + 12,6 + 15 = 85 + 15 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 × 3 = 3³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²)
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
121 = 11² : carré 150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 4 = 3 × 16 − 4 = 48 − 4 = 44
B = (3 × 4)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : x² + 6x = 3² + 6 × 3 = 9 + 6 × 3 = 9 + 18 = 27
Pour x = 0,5 : x² + 6x = 0,5² + 6 × 0,5 = 0,25 + 6 × 0,5 = 0,25 + 3 = 3,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 43 :
6² = 36 ≤ 43 et 7² = 49 > 43.
a) Elle mettra 6 dalles sur chaque côté.
43 − 36 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 23. » → encore 21 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 4, 16.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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