Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4 + 6 × 9 = 4 + 54 = 58
B = (4 + 6) × 9 = 10 × 9 = 90
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 5.
D = 12² − 95 est une différence : c'est la différence entre le carré de 12 et 95.
E = 2 × 3² est un produit : c'est le double du carré de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 66 = 594 ≤ 597 < 603 = 9 × 67 : le quotient est 66, le reste 597 − 594 = 3.
597 = 9 × 66 + 3, avec 3 < 9.
16 × 49 = 784 ≤ 796 < 800 = 16 × 50 : le quotient est 49, le reste 796 − 784 = 12.
796 = 16 × 49 + 12, avec 12 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 224 = 11 × 19 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 224 = 11 × 20 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 224 = 11 × 21 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 20, reste 4.
Comme 4 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 224 par 20 : quotient 11, reste 4.
3. 211 = 15 × 14 + 1
En 14 soirs, elle lit 210 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 14 + 1 = 15 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 726 | oui | non | non | non | non |
| 2 709 | non | oui | non | oui | non |
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 755 | non | non | oui | non | non |
| 1 840 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
7 726 → 7 + 7 + 2 + 6 = 22 2 709 → 2 + 7 + 0 + 9 = 18 237 → 2 + 3 + 7 = 12
755 → 7 + 5 + 5 = 17 1 840 → 1 + 8 + 4 + 0 = 13
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 4 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 234.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 83 est un multiple de 5. » Faux. 83 = 5 × 16 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 6 + 4 × 9 = 6 + 36 = 42
B = 6 + 27 ÷ 9 × 2 = 6 + 3 × 2 = 6 + 6 = 12
C = 96 − 2 × (16 − 8) = 96 − 2 × 8 = 96 − 16 = 80
D = 1,2 + 5 × 0,2 = 1,2 + 1 = 2,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 4 × (8 + 9) = 9 + 4 × 17 = 9 + 68 = 77
3 × (9 − 5) × 4 = 3 × 4 × 4 = 12 × 4 = 48
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 101 = 26 × (100 + 1) = 26 × 100 + 26 × 1 = 2 600 + 26 = 2 626
F = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
G = 28 + 7,8 + 72 = 28 + 72 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³ 5 × 5 = 5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
28 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 28 < 36 = 6²) 78 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 78 < 81 = 9²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 7 = 4 × 4 − 7 = 16 − 7 = 9
B = (4 × 2)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : n³ + 8 = 3³ + 8 = 27 + 8 = 35
Pour n = 10 : n³ + 8 = 10³ + 8 = 1 000 + 8 = 1 008
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 165 et 227. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.