Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (15 + 6) × 7 = 21 × 7 = 147
B = 15 + 6 × 7 = 15 + 42 = 57
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 2.
D = 5 × (18 − 12) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 18 et 12.
E = 7 + 24 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 7 et du quotient de 24 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 136 = 816 ≤ 820 < 822 = 6 × 137 : le quotient est 136, le reste 820 − 816 = 4.
820 = 6 × 136 + 4, avec 4 < 6.
21 × 104 = 2 184 ≤ 2 193 < 2 205 = 21 × 105 : le quotient est 104, le reste 2 193 − 2 184 = 9.
2 193 = 21 × 104 + 9, avec 9 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 189 = 6 × 32 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 189 = 6 × 30 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 189 = 6 × 31 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 31, reste 3.
Comme 3 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 189 par 31 : quotient 6, reste 3.
3. 52 = 3 × 17 + 1, avec 1 < 3
a) Chaque joueur reçoit 17 cartes.
b) La pioche contient 1 carte.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 3 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 597 | non | oui | non | oui | non |
| 3 080 | oui | non | oui | non | oui |
| 651 | non | oui | non | non | non |
| 805 | non | non | oui | non | non |
| 4 978 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 597 → 6 + 5 + 9 + 7 = 27 3 080 → 3 + 0 + 8 + 0 = 11 651 → 6 + 5 + 1 = 12
805 → 8 + 0 + 5 = 13 4 978 → 4 + 9 + 7 + 8 = 28
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 8 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 648.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 65. » Faux. 65 = 3 × 21 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 9 + 2 = 26 + 2 = 28
B = 13 + 36 ÷ 4 × 2 = 13 + 9 × 2 = 13 + 18 = 31
C = (10 + 2) × 3 − 9 = 12 × 3 − 9 = 36 − 9 = 27
D = [3 + 5 × (12 − 3)] ÷ 5 = [3 + 5 × 9] ÷ 5 = [3 + 45] ÷ 5 = 48 ÷ 5 = 9,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + (5 + 4) × 5 = 3 + 9 × 5 = 3 + 45 = 48
9 + 7 − (5 + 9) = 9 + 7 − 14 = 16 − 14 = 2
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,8 + 2,7 × 0,2 = 2,7 × (0,8 + 0,2) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 2 × 87 × 50 = 2 × 50 × 87 = 100 × 87 = 8 700
G = 32 × 101 = 32 × (100 + 1) = 32 × 100 + 32 × 1 = 3 200 + 32 = 3 232
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 4 × 4 × 4 = 4³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 36 = 6² : carré
65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²) 102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²)
147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 1 = 3 × 36 − 1 = 108 − 1 = 107
B = (3 × 6)² − 1 = 18² − 1 = 324 − 1 = 323
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : x³ + 6 = 3³ + 6 = 27 + 6 = 33
Pour x = 10 : x³ + 6 = 10³ + 6 = 1 000 + 6 = 1 006
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 135 et 180. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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