Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 32 + 36 ÷ 4 = 32 + 9 = 41
B = (32 + 36) ÷ 4 = 68 ÷ 4 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5² − 12 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 12.
D = 2 × 8² est un produit : c'est le double du carré de 8.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 66 = 528 ≤ 530 < 536 = 8 × 67 : le quotient est 66, le reste 530 − 528 = 2.
530 = 8 × 66 + 2, avec 2 < 8.
17 × 41 = 697 ≤ 702 < 714 = 17 × 42 : le quotient est 41, le reste 702 − 697 = 5.
702 = 17 × 41 + 5, avec 5 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 425 = 13 × 33 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 425 = 13 × 31 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 425 = 13 × 32 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 32, reste 9.
Comme 9 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 425 par 32 : quotient 13, reste 9.
3. 256 = 7 × 36 + 4
a) 256 jours font 36 semaines complètes et 4 jours.
Après 36 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 4 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 256 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 921 | non | oui | non | oui | non |
| 7 740 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 205 | non | non | oui | non | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 4 252 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 921 → 6 + 9 + 2 + 1 = 18 7 740 → 7 + 7 + 4 + 0 = 18 205 → 2 + 0 + 5 = 7
867 → 8 + 6 + 7 = 21 4 252 → 4 + 2 + 5 + 2 = 13
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 4 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 234.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 7 est un diviseur de 94. » Faux. 94 = 7 × 13 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 62 − 2 × 5 = 62 − 10 = 52
B = 16 + 10 ÷ 2 × 2 = 16 + 5 × 2 = 16 + 10 = 26
C = 54 − 3 × (12 − 8) = 54 − 3 × 4 = 54 − 12 = 42
D = 2,3 + 4 × 1,5 = 2,3 + 6 = 8,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (8 − 4) + 4 = 7 × 4 + 4 = 28 + 4 = 32
6 × (5 + 5) + 9 = 6 × 10 + 9 = 60 + 9 = 69
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 43 × 11 = 43 × (10 + 1) = 43 × 10 + 43 × 1 = 430 + 43 = 473
G = 33 + 0,75 + 67 = 33 + 67 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 × 3 = 3³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
14 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 14 < 16 = 4²) 25 = 5² : carré
83 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 83 < 100 = 10²) 108 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 108 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 4 = 4 × 9 − 4 = 36 − 4 = 32
B = (4 × 3)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 2 : x² + 6x = 2² + 6 × 2 = 4 + 6 × 2 = 4 + 12 = 16
Pour x = 0,5 : x² + 6x = 0,5² + 6 × 0,5 = 0,25 + 6 × 0,5 = 0,25 + 3 = 3,25
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 46. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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