Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 − 4) × 2 = 16 × 2 = 32
B = 20 − 4 × 2 = 20 − 8 = 12
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 15 + 3 × 4 est une somme : c'est la somme de 15 et du produit de 3 par 4.
D = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
E = 2 × 3² − 3 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 3 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 203 = 609 ≤ 611 < 612 = 3 × 204 : le quotient est 203, le reste 611 − 609 = 2.
611 = 3 × 203 + 2, avec 2 < 3.
29 × 10 = 290 ≤ 301 < 319 = 29 × 11 : le quotient est 10, le reste 301 − 290 = 11.
301 = 29 × 10 + 11, avec 11 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 79 = 8 × 9 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 79 = 8 × 8 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 79 = 8 × 10 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 9, reste 7.
Comme 7 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 79 par 9 : quotient 8, reste 7.
3. 94 = 16 × 5 + 14
5 minibus pleins transportent 80 élèves ; il en reste 14 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 14 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 8 181 | non | oui | non | oui | non |
| 545 | non | non | oui | non | non |
| 2 564 | oui | non | non | non | non |
| 6 440 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
921 → 9 + 2 + 1 = 12 8 181 → 8 + 1 + 8 + 1 = 18 545 → 5 + 4 + 5 = 14
2 564 → 2 + 5 + 6 + 4 = 17 6 440 → 6 + 4 + 4 + 0 = 14
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 2 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 912, 942, 972.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 70. » Vrai. 70 = 5 × 14 : le reste de la division de 70 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 23 + 8 × 4 = 23 + 32 = 55
B = 20 + 48 ÷ 6 × 4 = 20 + 8 × 4 = 20 + 32 = 52
C = (4 + 5) × 6 − 4 = 9 × 6 − 4 = 54 − 4 = 50
D = 5 × [23 − (5 + 8)] = 5 × [23 − 13] = 5 × 10 = 50
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 6 × (8 + 6) = 8 + 6 × 14 = 8 + 84 = 92
2 × (9 × 8 + 7) = 2 × (72 + 7) = 2 × 79 = 158
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 27 × 29 + 27 × 71 = 27 × (29 + 71) = 27 × 100 = 2 700
F = 25 × 11 = 25 × (10 + 1) = 25 × 10 + 25 × 1 = 250 + 25 = 275
G = 4 × 79 × 25 = 4 × 25 × 79 = 100 × 79 = 7 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 12 × 12 = 12² 4 × 4 × 4 = 4³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (2 + 1)² = 2² + 1² » Faux. (2 + 1)² = 3² = 9, alors que 2² + 1² = 4 + 1 = 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 6 = 5 × 36 − 6 = 180 − 6 = 174
B = (5 × 6)² − 6 = 30² − 6 = 900 − 6 = 894
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 8 = 3 × 3² − 8 = 3 × 9 − 8 = 27 − 8 = 19
B = (3x)² − 8 = (3 × 3)² − 8 = 9² − 8 = 81 − 8 = 73
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
3 × 2 = 6
a) Il faut 6 carreaux le long d'un côté.
6 rangées de 6 carreaux : 6² = 6 × 6 = 36
b) Il faut 36 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 12 et 57. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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