Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 12 ÷ 2 = 14 + 6 = 20
B = (14 + 12) ÷ 2 = 26 ÷ 2 = 13
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 1.
D = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
E = (31 + 1) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 31 et 1 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 98 = 882 ≤ 888 < 891 = 9 × 99 : le quotient est 98, le reste 888 − 882 = 6.
888 = 9 × 98 + 6, avec 6 < 9.
27 × 77 = 2 079 ≤ 2 094 < 2 106 = 27 × 78 : le quotient est 77, le reste 2 094 − 2 079 = 15.
2 094 = 27 × 77 + 15, avec 15 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 408 = 10 × 39 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 408 = 10 × 41 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 408 = 10 × 40 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 40, reste 8.
Comme 8 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 408 par 40 : quotient 10, reste 8.
3. 105 = 12 × 8 + 9
8 minibus pleins transportent 96 élèves ; il en reste 9 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 9 = 3 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 310 | oui | non | oui | non | oui |
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 6 928 | oui | non | non | non | non |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 1 683 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
6 310 → 6 + 3 + 1 + 0 = 10 365 → 3 + 6 + 5 = 14 6 928 → 6 + 9 + 2 + 8 = 25
627 → 6 + 2 + 7 = 15 1 683 → 1 + 6 + 8 + 3 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 3 + □ = 5 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 234.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 657, somme des chiffres 18.
« 113 est un multiple de 6. » Faux. 113 = 6 × 18 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 75 − 5 × 7 = 75 − 35 = 40
B = 54 ÷ 9 × 3 = 6 × 3 = 18
C = (10 + 7) × 6 − 6 = 17 × 6 − 6 = 102 − 6 = 96
D = 5 × [37 − (6 + 4)] = 5 × [37 − 10] = 5 × 27 = 135
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (2 × 8 − 9) = 9 × (16 − 9) = 9 × 7 = 63
4 × (9 − 3) + 4 = 4 × 6 + 4 = 24 + 4 = 28
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 37 × 11 = 37 × (10 + 1) = 37 × 10 + 37 × 1 = 370 + 37 = 407
F = 15 × 84 + 15 × 16 = 15 × (84 + 16) = 15 × 100 = 1 500
G = 8 × 82 × 125 = 8 × 125 × 82 = 1 000 × 82 = 82 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 8 × 8 = 8² 0,7 × 0,7 = 0,7²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
10 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 10 < 16 = 4²) 16 = 4² : carré
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²) 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 3 = 4 × 16 − 3 = 64 − 3 = 61
B = (4 × 4)² − 3 = 16² − 3 = 256 − 3 = 253
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : (x + 6)² = (5 + 6)² = 11² = 121
Pour x = 10 : (x + 6)² = (10 + 6)² = 16² = 256
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 148 et 199. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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