Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 47 − 7 × 4 est une différence : c'est la différence entre 47 et le produit de 7 par 4.
D = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
E = 13 + 32 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 32 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 129 = 774 ≤ 778 < 780 = 6 × 130 : le quotient est 129, le reste 778 − 774 = 4.
778 = 6 × 129 + 4, avec 4 < 6.
17 × 142 = 2 414 ≤ 2 424 < 2 431 = 17 × 143 : le quotient est 142, le reste 2 424 − 2 414 = 10.
2 424 = 17 × 142 + 10, avec 10 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 353 = 9 × 39 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 353 = 9 × 38 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 353 = 9 × 40 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 39, reste 2.
Comme 2 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 353 par 39 : quotient 9, reste 2.
3. 33 = 8 × 4 + 1
4 minibus pleins transportent 32 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 1 = 7 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 880 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 232 | oui | non | non | non | non |
| 9 639 | non | oui | non | oui | non |
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 485 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
1 880 → 1 + 8 + 8 + 0 = 17 1 232 → 1 + 2 + 3 + 2 = 8 9 639 → 9 + 6 + 3 + 9 = 27
501 → 5 + 0 + 1 = 6 485 → 4 + 8 + 5 = 17
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 5 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 615, 645, 675.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 150 est un multiple de 6. » Vrai. 150 = 6 × 25 : le reste de la division de 150 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 74 − 3 × 4 = 74 − 12 = 62
B = 54 ÷ 6 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (7 × 7 − 8) ÷ 5 = (49 − 8) ÷ 5 = 41 ÷ 5 = 8,2
D = [4 + 2 × (8 − 3)] ÷ 5 = [4 + 2 × 5] ÷ 5 = [4 + 10] ÷ 5 = 14 ÷ 5 = 2,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 − (2 + 2 + 2) = 9 − (4 + 2) = 9 − 6 = 3
2 × (6 + 4) × 3 = 2 × 10 × 3 = 20 × 3 = 60
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 + 12,6 + 55 = 45 + 55 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 43 × 101 = 43 × (100 + 1) = 43 × 100 + 43 × 1 = 4 300 + 43 = 4 343
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 81 = 9² : carré
100 = 10² : carré 119 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 119 < 121 = 11²)
123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²) 126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 1 = 5 × 4 − 1 = 20 − 1 = 19
B = (5 × 2)² − 1 = 10² − 1 = 100 − 1 = 99
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : 2n³ = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 42 et 89. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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