Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 24 − 3 × 7 est une différence : c'est la différence entre 24 et le produit de 3 par 7.
D = (4 + 2) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 4 et 2 par 2.
E = (5 + 3) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 5 et 3 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 15 = 105 ≤ 109 < 112 = 7 × 16 : le quotient est 15, le reste 109 − 105 = 4.
109 = 7 × 15 + 4, avec 4 < 7.
27 × 78 = 2 106 ≤ 2 110 < 2 133 = 27 × 79 : le quotient est 78, le reste 2 110 − 2 106 = 4.
2 110 = 27 × 78 + 4, avec 4 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 156 = 7 × 21 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 156 = 7 × 22 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 156 = 7 × 23 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 22, reste 2.
Comme 2 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 156 par 22 : quotient 7, reste 2.
3. 213 = 15 × 14 + 3
En 14 soirs, elle lit 210 pages ; il lui en reste encore 3.
a) Il lui faut 14 + 1 = 15 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 3 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 470 | oui | non | oui | non | oui |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 5 049 | non | oui | non | oui | non |
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 1 034 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 470 → 2 + 4 + 7 + 0 = 13 717 → 7 + 1 + 7 = 15 5 049 → 5 + 0 + 4 + 9 = 18
445 → 4 + 4 + 5 = 13 1 034 → 1 + 0 + 3 + 4 = 8
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 6 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 864.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 129. » Faux. 129 = 8 × 16 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 63 − 4 × 9 = 63 − 36 = 27
B = 20 ÷ 4 × 5 = 5 × 5 = 25
C = 88 − 2 × (14 − 8) = 88 − 2 × 6 = 88 − 12 = 76
D = [6 + 2 × (7 − 2)] ÷ 2 = [6 + 2 × 5] ÷ 2 = [6 + 10] ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 2 × 8) × 8 = (2 + 16) × 8 = 18 × 8 = 144
4 × (3 × 5 − 8) = 4 × (15 − 8) = 4 × 7 = 28
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 33 × 99 = 33 × (100 − 1) = 33 × 100 − 33 × 1 = 3 300 − 33 = 3 267
F = 86 + 5,05 + 14 = 86 + 14 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 = 6² 4 × 4 × 4 = 4³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²) 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 2 = 2 × 4 − 2 = 8 − 2 = 6
B = (2 × 2)² − 2 = 4² − 2 = 16 − 2 = 14
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 2 = 5² + 2 = 25 + 2 = 27 et 3n = 3 × 5 = 15.
27 ≠ 15 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Pour n = 1 : n² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 et 3n = 3 × 1 = 3.
3 = 3 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 1 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 50 et 94. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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