Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 36 + 8 ÷ 4 = 36 + 2 = 38
B = (36 + 8) ÷ 4 = 44 ÷ 4 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 3.
D = 25 − 3 × 5 est une différence : c'est la différence entre 25 et le produit de 3 par 5.
E = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 69 = 621 ≤ 622 < 630 = 9 × 70 : le quotient est 69, le reste 622 − 621 = 1.
622 = 9 × 69 + 1, avec 1 < 9.
29 × 67 = 1 943 ≤ 1 968 < 1 972 = 29 × 68 : le quotient est 67, le reste 1 968 − 1 943 = 25.
1 968 = 29 × 67 + 25, avec 25 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 230 = 9 × 25 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 230 = 9 × 26 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 230 = 9 × 24 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 25, reste 5.
Comme 5 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 230 par 25 : quotient 9, reste 5.
3. 58 = 12 × 4 + 10, avec 10 < 12
a) Elle remplit 4 boîtes pleines.
b) Il reste 10 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 633 | non | oui | non | oui | non |
| 651 | non | oui | non | non | non |
| 7 688 | oui | non | non | non | non |
| 545 | non | non | oui | non | non |
| 2 980 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
6 633 → 6 + 6 + 3 + 3 = 18 651 → 6 + 5 + 1 = 12 7 688 → 7 + 6 + 8 + 8 = 29
545 → 5 + 4 + 5 = 14 2 980 → 2 + 9 + 8 + 0 = 19
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 9 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 195.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 86 est pair mais 86 = 3 × 28 + 2.
« 112 est un multiple de 4. » Vrai. 112 = 4 × 28 : le reste de la division de 112 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 36 − 8 + 13 = 28 + 13 = 41
B = 6 + 32 ÷ 4 × 4 = 6 + 8 × 4 = 6 + 32 = 38
C = 90 − 5 × (10 − 2) = 90 − 5 × 8 = 90 − 40 = 50
D = 4,3 + 5 × 1,2 = 4,3 + 6 = 10,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (7 + 7) − 3 = 6 × 14 − 3 = 84 − 3 = 81
(9 + 5) × 8 + 7 = 14 × 8 + 7 = 112 + 7 = 119
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 30 × 5 = 2 × 5 × 30 = 10 × 30 = 300
F = 26 × 99 = 26 × (100 − 1) = 26 × 100 − 26 × 1 = 2 600 − 26 = 2 574
G = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 11 × 11 = 11² 2 × 2 × 2 = 2³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
49 = 7² : carré 51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²)
56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 1 = 3 × 36 − 1 = 108 − 1 = 107
B = (3 × 6)² − 1 = 18² − 1 = 324 − 1 = 323
C = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
D = (7 + 4)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 7 : n² + 20 = 7² + 20 = 49 + 20 = 69 et 9n = 9 × 7 = 63.
69 ≠ 63 : l'égalité est fausse pour n = 7.
Pour n = 5 : n² + 20 = 5² + 20 = 25 + 20 = 45 et 9n = 9 × 5 = 45.
45 = 45 : l'égalité est vraie pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 5 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 83 :
9² = 81 ≤ 83 et 10² = 100 > 83.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
83 − 81 = 2
b) Il lui restera 2 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 60. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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