Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (8 + 20) ÷ 4 = 28 ÷ 4 = 7
B = 8 + 20 ÷ 4 = 8 + 5 = 13
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 19 + 56 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 19 et du quotient de 56 par 8.
D = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
E = 8 × (6 − 2) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 6 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 75 = 675 ≤ 676 < 684 = 9 × 76 : le quotient est 75, le reste 676 − 675 = 1.
676 = 9 × 75 + 1, avec 1 < 9.
19 × 108 = 2 052 ≤ 2 056 < 2 071 = 19 × 109 : le quotient est 108, le reste 2 056 − 2 052 = 4.
2 056 = 19 × 108 + 4, avec 4 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 221 = 15 × 15 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 221 = 15 × 14 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 221 = 15 × 13 + 26 : le « reste » 26 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 11.
Comme 11 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 221 par 14 : quotient 15, reste 11.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 7 110 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 8 073 | non | oui | non | oui | non |
| 4 172 | oui | non | non | non | non |
| 175 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
777 → 7 + 7 + 7 = 21 7 110 → 7 + 1 + 1 + 0 = 9 8 073 → 8 + 0 + 7 + 3 = 18
4 172 → 4 + 1 + 7 + 2 = 14 175 → 1 + 7 + 5 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 5 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 150.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 6 est un diviseur de 153. » Faux. 153 = 6 × 25 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 56 − 13 + 4 = 43 + 4 = 47
B = 35 ÷ 5 × 5 = 7 × 5 = 35
C = 56 − 3 × (13 − 9) = 56 − 3 × 4 = 56 − 12 = 44
D = [3 + 3 × (9 − 1)] ÷ 2 = [3 + 3 × 8] ÷ 2 = [3 + 24] ÷ 2 = 27 ÷ 2 = 13,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 7 × 4) × 5 = (5 + 28) × 5 = 33 × 5 = 165
(3 + 9 × 3) × 5 = (3 + 27) × 5 = 30 × 5 = 150
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 11 = 22 × (10 + 1) = 22 × 10 + 22 × 1 = 220 + 22 = 242
F = 49 × 32 + 49 × 68 = 49 × (32 + 68) = 49 × 100 = 4 900
G = 58 + 5,05 + 42 = 58 + 42 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 12 × 12 = 12² 3 × 3 × 3 = 3³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
54 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 54 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 1 = 5 × 9 − 1 = 45 − 1 = 44
B = (5 × 3)² − 1 = 15² − 1 = 225 − 1 = 224
C = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
D = (5 + 7)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : 2n³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 91 et 137. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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