Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 21 − 5 × 2 = 21 − 10 = 11
B = (21 − 5) × 2 = 16 × 2 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 + 4 × 5 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 4 par 5.
D = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
E = 2 × 7² − 3 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 7 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 27 = 162 ≤ 165 < 168 = 6 × 28 : le quotient est 27, le reste 165 − 162 = 3.
165 = 6 × 27 + 3, avec 3 < 6.
18 × 62 = 1 116 ≤ 1 123 < 1 134 = 18 × 63 : le quotient est 62, le reste 1 123 − 1 116 = 7.
1 123 = 18 × 62 + 7, avec 7 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 207 = 8 × 24 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 207 = 8 × 26 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 207 = 8 × 25 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 25, reste 7.
Comme 7 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 207 par 25 : quotient 8, reste 7.
3. 86 = 15 × 5 + 11
5 minibus pleins transportent 75 élèves ; il en reste 11 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 11 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 8 289 | non | oui | non | oui | non |
| 4 168 | oui | non | non | non | non |
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 3 360 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
507 → 5 + 0 + 7 = 12 8 289 → 8 + 2 + 8 + 9 = 27 4 168 → 4 + 1 + 6 + 8 = 19
365 → 3 + 6 + 5 = 14 3 360 → 3 + 3 + 6 + 0 = 12
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 4 + □ = 5 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 144.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 162, somme des chiffres 9.
« 3 est un diviseur de 75. » Vrai. 75 = 3 × 25 : le reste de la division de 75 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 32 − 2 + 4 = 30 + 4 = 34
B = 6 × 4 − 5 × 2 = 24 − 10 = 14
C = (5 + 8) × 5 − 5 = 13 × 5 − 5 = 65 − 5 = 60
D = [2 + 7 × (12 − 2)] ÷ 5 = [2 + 7 × 10] ÷ 5 = [2 + 70] ÷ 5 = 72 ÷ 5 = 14,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (2 + 6 + 6) = 6 × (8 + 6) = 6 × 14 = 84
4 × (9 + 3 + 3) = 4 × (12 + 3) = 4 × 15 = 60
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,4 + 1,5 × 0,6 = 1,5 × (0,4 + 0,6) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 33 × 99 = 33 × (100 − 1) = 33 × 100 − 33 × 1 = 3 300 − 33 = 3 267
G = 17 + 3,45 + 83 = 17 + 83 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 × 3 = 3³ 5 × 5 = 5²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 69 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 69 < 81 = 9²)
97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 6 = 3 × 9 − 6 = 27 − 6 = 21
B = (3 × 3)² − 6 = 9² − 6 = 81 − 6 = 75
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 9 = 3 × 5² − 9 = 3 × 25 − 9 = 75 − 9 = 66
B = (3a)² − 9 = (3 × 5)² − 9 = 15² − 9 = 225 − 9 = 216
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 21 et 69. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 36, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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