Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7² + 3² = 49 + 9 = 58
B = (7 + 3)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
D = 24 − 3 × 3 est une différence : c'est la différence entre 24 et le produit de 3 par 3.
E = 9² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 94 = 846 ≤ 850 < 855 = 9 × 95 : le quotient est 94, le reste 850 − 846 = 4.
850 = 9 × 94 + 4, avec 4 < 9.
22 × 40 = 880 ≤ 899 < 902 = 22 × 41 : le quotient est 40, le reste 899 − 880 = 19.
899 = 22 × 40 + 19, avec 19 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 170 = 7 × 25 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 170 = 7 × 23 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 170 = 7 × 24 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 24, reste 2.
Comme 2 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 170 par 24 : quotient 7, reste 2.
3. 54 = 8 × 6 + 6, avec 6 < 8
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 6 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 295 | non | non | oui | non | non |
| 7 712 | oui | non | non | non | non |
| 3 320 | oui | non | oui | non | oui |
| 8 019 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
237 → 2 + 3 + 7 = 12 295 → 2 + 9 + 5 = 16 7 712 → 7 + 7 + 1 + 2 = 17
3 320 → 3 + 3 + 2 + 0 = 8 8 019 → 8 + 0 + 1 + 9 = 18
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 9 = 18 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 18 ; □ = 9 : 27
2 solutions : 909, 999.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 76 est un multiple de 3. » Faux. 76 = 3 × 25 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 48 − 3 + 2 = 45 + 2 = 47
B = 6 + 36 ÷ 9 × 3 = 6 + 4 × 3 = 6 + 12 = 18
C = (8 × 5 − 4) ÷ 4 = (40 − 4) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9
D = [4 + 7 × (11 − 1)] ÷ 2 = [4 + 7 × 10] ÷ 2 = [4 + 70] ÷ 2 = 74 ÷ 2 = 37
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (5 × 4 + 9) = 6 × (20 + 9) = 6 × 29 = 174
9 × 7 − (4 + 4) = 9 × 7 − 8 = 63 − 8 = 55
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 35 × 11 = 35 × (10 + 1) = 35 × 10 + 35 × 1 = 350 + 35 = 385
F = 16 + 0,75 + 84 = 16 + 84 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 31 × 57 − 31 × 47 = 31 × (57 − 47) = 31 × 10 = 310
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 4 × 4 × 4 = 4³ 3 × 3 = 3²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 2 = 3 × 4 − 2 = 12 − 2 = 10
B = (3 × 2)² − 2 = 6² − 2 = 36 − 2 = 34
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 3 : n² + 3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12 et 4n = 4 × 3 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Pour n = 6 : n² + 3 = 6² + 3 = 36 + 3 = 39 et 4n = 4 × 6 = 24.
39 ≠ 24 : l'égalité est fausse pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 3 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 6 et 38. » → encore 31 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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