Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 − 2 × 5 = 14 − 10 = 4
B = (14 − 2) × 5 = 12 × 5 = 60
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 12² − 130 est une différence : c'est la différence entre le carré de 12 et 130.
D = (7 + 3) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 3 par 2.
E = 3 + 6 × 7 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 6 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 134 = 938 ≤ 939 < 945 = 7 × 135 : le quotient est 134, le reste 939 − 938 = 1.
939 = 7 × 134 + 1, avec 1 < 7.
17 × 112 = 1 904 ≤ 1 917 < 1 921 = 17 × 113 : le quotient est 112, le reste 1 917 − 1 904 = 13.
1 917 = 17 × 112 + 13, avec 13 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 142 = 8 × 16 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 142 = 8 × 18 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 142 = 8 × 17 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 17, reste 6.
Comme 6 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 142 par 17 : quotient 8, reste 6.
3. 67 = 12 × 5 + 7
5 minibus pleins transportent 60 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 7 = 5 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 357 | non | oui | non | non | non |
| 5 050 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 514 | oui | non | non | non | non |
| 965 | non | non | oui | non | non |
| 2 187 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
357 → 3 + 5 + 7 = 15 5 050 → 5 + 0 + 5 + 0 = 10 6 514 → 6 + 5 + 1 + 4 = 16
965 → 9 + 6 + 5 = 20 2 187 → 2 + 1 + 8 + 7 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 3 + 3 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 6 : 12
2 solutions : 330, 336.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 60. » Vrai. 60 = 5 × 12 : le reste de la division de 60 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 47 − 10 + 13 = 37 + 13 = 50
B = 6 × 7 − 4 × 6 = 42 − 24 = 18
C = 59 − 3 × (10 − 4) = 59 − 3 × 6 = 59 − 18 = 41
D = 3 × [38 − (5 + 5)] = 3 × [38 − 10] = 3 × 28 = 84
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 − (3 + 3) + 5 = 7 − 6 + 5 = 1 + 5 = 6
3 × (9 × 3 − 2) = 3 × (27 − 2) = 3 × 25 = 75
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 24 × 99 = 24 × (100 − 1) = 24 × 100 − 24 × 1 = 2 400 − 24 = 2 376
F = 26 × 17 + 26 × 83 = 26 × (17 + 83) = 26 × 100 = 2 600
G = 4 × 69 × 25 = 4 × 25 × 69 = 100 × 69 = 6 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 6 × 6 = 6² 1,5 × 1,5 = 1,5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
40 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 40 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 3 = 4 × 9 − 3 = 36 − 3 = 33
B = (4 × 3)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
D = (1 + 2)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 1 = 2 × 4² − 1 = 2 × 16 − 1 = 32 − 1 = 31
B = (2a)² − 1 = (2 × 4)² − 1 = 8² − 1 = 64 − 1 = 63
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
5 × 5 = 25
a) Il faut 25 carreaux le long d'un côté.
25 rangées de 25 carreaux : 25² = 25 × 25 = 625
b) Il faut 625 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 158 et 213. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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