Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
B = (1 + 4)² = 5² = 25
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 6² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 6 et 15.
D = (18 + 24) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 18 et 24 par 7.
E = 6 + 7 × 9 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 7 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 43 = 258 ≤ 260 < 264 = 6 × 44 : le quotient est 43, le reste 260 − 258 = 2.
260 = 6 × 43 + 2, avec 2 < 6.
16 × 76 = 1 216 ≤ 1 227 < 1 232 = 16 × 77 : le quotient est 76, le reste 1 227 − 1 216 = 11.
1 227 = 16 × 76 + 11, avec 11 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 301 = 14 × 22 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 301 = 14 × 21 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 301 = 14 × 20 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 21, reste 7.
Comme 7 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 301 par 21 : quotient 14, reste 7.
3. 54 = 7 × 7 + 5, avec 5 < 7
a) Chaque joueur reçoit 7 cartes.
b) La pioche contient 5 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 815 | non | non | oui | non | non |
| 6 590 | oui | non | oui | non | oui |
| 687 | non | oui | non | non | non |
| 8 684 | oui | non | non | non | non |
| 3 249 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
815 → 8 + 1 + 5 = 14 6 590 → 6 + 5 + 9 + 0 = 20 687 → 6 + 8 + 7 = 21
8 684 → 8 + 6 + 8 + 4 = 26 3 249 → 3 + 2 + 4 + 9 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 2 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 720.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 53 est un multiple de 3. » Faux. 53 = 3 × 17 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 56 − 2 × 7 = 56 − 14 = 42
B = 15 + 40 ÷ 8 × 3 = 15 + 5 × 3 = 15 + 15 = 30
C = (12 + 10) × 2 − 15 = 22 × 2 − 15 = 44 − 15 = 29
D = 3,2 + 3 × 0,2 = 3,2 + 0,6 = 3,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (2 + 4) − 5 = 2 × 6 − 5 = 12 − 5 = 7
(9 + 8 + 7) × 5 = (17 + 7) × 5 = 24 × 5 = 120
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
F = 62 + 0,75 + 38 = 62 + 38 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 3 × 3 = 3² 2,5 × 2,5 = 2,5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« (2 + 3)² = 2² + 3² » Faux. (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 95 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 95 < 100 = 10²)
128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 6 = 5 × 16 − 6 = 80 − 6 = 74
B = (5 × 4)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 2 : 2x³ = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
3 × 4 = 12
a) Il faut 12 carreaux le long d'un côté.
12 rangées de 12 carreaux : 12² = 12 × 12 = 144
b) Il faut 144 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 245 et 294. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 256.
Le nombre mystère est 256 (256 = 16²).
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