Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 23 − 4 × 5 est une différence : c'est la différence entre 23 et le produit de 4 par 5.
D = 5 × (16 − 8) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 16 et 8.
E = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 50 = 150 ≤ 151 < 153 = 3 × 51 : le quotient est 50, le reste 151 − 150 = 1.
151 = 3 × 50 + 1, avec 1 < 3.
27 × 30 = 810 ≤ 833 < 837 = 27 × 31 : le quotient est 30, le reste 833 − 810 = 23.
833 = 27 × 30 + 23, avec 23 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 279 = 11 × 24 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 279 = 11 × 26 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 279 = 11 × 25 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 25, reste 4.
Comme 4 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 279 par 25 : quotient 11, reste 4.
3. 185 = 6 × 30 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 30 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 295 | non | non | oui | non | non |
| 1 172 | oui | non | non | non | non |
| 8 667 | non | oui | non | oui | non |
| 3 410 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
591 → 5 + 9 + 1 = 15 295 → 2 + 9 + 5 = 16 1 172 → 1 + 1 + 7 + 2 = 11
8 667 → 8 + 6 + 6 + 7 = 27 3 410 → 3 + 4 + 1 + 0 = 8
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 5 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 5 : 12 ; □ = 8 : 15
3 solutions : 225, 255, 285.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 3 est un diviseur de 55. » Faux. 55 = 3 × 18 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 40 − 2 + 12 = 38 + 12 = 50
B = 20 + 63 ÷ 7 × 4 = 20 + 9 × 4 = 20 + 36 = 56
C = 84 − 4 × (12 − 5) = 84 − 4 × 7 = 84 − 28 = 56
D = 4 × [36 − (3 + 5)] = 4 × [36 − 8] = 4 × 28 = 112
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (5 × 3 + 8) = 4 × (15 + 8) = 4 × 23 = 92
9 + (7 − 2) × 8 = 9 + 5 × 8 = 9 + 40 = 49
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 5 × 94 × 20 = 5 × 20 × 94 = 100 × 94 = 9 400
F = 23 × 70 − 23 × 60 = 23 × (70 − 60) = 23 × 10 = 230
G = 31 × 11 = 31 × (10 + 1) = 31 × 10 + 31 × 1 = 310 + 31 = 341
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 37 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 37 < 49 = 7²)
57 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 57 < 64 = 8²) 61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²)
121 = 11² : carré 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 2 = 4 × 36 − 2 = 144 − 2 = 142
B = (4 × 6)² − 2 = 24² − 2 = 576 − 2 = 574
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 2 : a² + 5a = 2² + 5 × 2 = 4 + 5 × 2 = 4 + 10 = 14
Pour a = 0,5 : a² + 5a = 0,5² + 5 × 0,5 = 0,25 + 5 × 0,5 = 0,25 + 2,5 = 2,75
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 166 :
12² = 144 ≤ 166 et 13² = 169 > 166.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
166 − 144 = 22
b) Il lui restera 22 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 3 et 47. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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