Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6 + 7 × 2 = 6 + 14 = 20
B = (6 + 7) × 2 = 13 × 2 = 26
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
D = 16 + 20 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 16 et du quotient de 20 par 4.
E = (4 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 83 = 747 ≤ 749 < 756 = 9 × 84 : le quotient est 83, le reste 749 − 747 = 2.
749 = 9 × 83 + 2, avec 2 < 9.
28 × 38 = 1 064 ≤ 1 084 < 1 092 = 28 × 39 : le quotient est 38, le reste 1 084 − 1 064 = 20.
1 084 = 28 × 38 + 20, avec 20 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 359 = 14 × 26 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 359 = 14 × 25 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 359 = 14 × 24 + 23 : le « reste » 23 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 25, reste 9.
Comme 9 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 359 par 25 : quotient 14, reste 9.
3. 108 = 8 × 13 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 052 | oui | non | non | non | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 575 | non | non | oui | non | non |
| 1 070 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 441 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
1 052 → 1 + 0 + 5 + 2 = 8 327 → 3 + 2 + 7 = 12 575 → 5 + 7 + 5 = 17
1 070 → 1 + 0 + 7 + 0 = 8 9 441 → 9 + 4 + 4 + 1 = 18
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 0 = 1 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 3 ; □ = 5 : 6 ; □ = 8 : 9
3 solutions : 120, 150, 180.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 4 est un diviseur de 114. » Faux. 114 = 4 × 28 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 30 + 6 × 7 = 30 + 42 = 72
B = 42 ÷ 6 × 3 = 7 × 3 = 21
C = (4 × 5 − 1) ÷ 5 = (20 − 1) ÷ 5 = 19 ÷ 5 = 3,8
D = 5,8 + 6 × 2,5 = 5,8 + 15 = 20,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 6 × 4) × 3 = (3 + 24) × 3 = 27 × 3 = 81
7 − (4 + 6 − 3) = 7 − (10 − 3) = 7 − 7 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 64 + 3,45 + 36 = 64 + 36 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 2,7 × 1,3 + 2,7 × 8,7 = 2,7 × (1,3 + 8,7) = 2,7 × 10 = 27
G = 17 × 9 = 17 × (10 − 1) = 17 × 10 − 17 × 1 = 170 − 17 = 153
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 × 4 = 4³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 6 = 4 × 9 − 6 = 36 − 6 = 30
B = (4 × 3)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
C = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
D = (5 + 7)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 2 : x³ + 2 = 2³ + 2 = 8 + 2 = 10
Pour x = 10 : x³ + 2 = 10³ + 2 = 1 000 + 2 = 1 002
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 151 :
12² = 144 ≤ 151 et 13² = 169 > 151.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
151 − 144 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 136 et 189. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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