Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (32 + 8) ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10
B = 32 + 8 ÷ 4 = 32 + 2 = 34
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 3 + 56 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 56 par 8.
E = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 134 = 536 ≤ 537 < 540 = 4 × 135 : le quotient est 134, le reste 537 − 536 = 1.
537 = 4 × 134 + 1, avec 1 < 4.
28 × 43 = 1 204 ≤ 1 213 < 1 232 = 28 × 44 : le quotient est 43, le reste 1 213 − 1 204 = 9.
1 213 = 28 × 43 + 9, avec 9 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 552 = 14 × 40 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 552 = 14 × 39 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 552 = 14 × 38 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 39, reste 6.
Comme 6 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 552 par 39 : quotient 14, reste 6.
3. 170 = 25 × 6 + 20
En 6 soirs, elle lit 150 pages ; il lui en reste encore 20.
a) Il lui faut 6 + 1 = 7 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 20 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 651 | non | oui | non | non | non |
| 4 420 | oui | non | oui | non | oui |
| 8 559 | non | oui | non | oui | non |
| 9 626 | oui | non | non | non | non |
| 895 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
651 → 6 + 5 + 1 = 12 4 420 → 4 + 4 + 2 + 0 = 10 8 559 → 8 + 5 + 5 + 9 = 27
9 626 → 9 + 6 + 2 + 6 = 23 895 → 8 + 9 + 5 = 22
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 4 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 18
Une seule solution : 864.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 7 est un diviseur de 141. » Faux. 141 = 7 × 20 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 + 7 × 2 = 21 + 14 = 35
B = 30 ÷ 5 × 2 = 6 × 2 = 12
C = (3 × 7 − 8) ÷ 5 = (21 − 8) ÷ 5 = 13 ÷ 5 = 2,6
D = [5 + 9 × (9 − 4)] ÷ 5 = [5 + 9 × 5] ÷ 5 = [5 + 45] ÷ 5 = 50 ÷ 5 = 10
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × 2 − (8 + 8) = 8 × 2 − 16 = 16 − 16 = 0
2 × (7 + 9) × 3 = 2 × 16 × 3 = 32 × 3 = 96
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 × 62 + 20 × 38 = 20 × (62 + 38) = 20 × 100 = 2 000
F = 43 × 101 = 43 × (100 + 1) = 43 × 100 + 43 × 1 = 4 300 + 43 = 4 343
G = 24 + 7,8 + 76 = 24 + 76 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 7 × 7 = 7² 2 × 2 × 2 = 2³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 9 = 3 × 25 − 9 = 75 − 9 = 66
B = (3 × 5)² − 9 = 15² − 9 = 225 − 9 = 216
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 18 = 1² + 18 = 1 + 18 = 19 et 9x = 9 × 1 = 9.
19 ≠ 9 : l'égalité est fausse pour x = 1.
Pour x = 6 : x² + 18 = 6² + 18 = 36 + 18 = 54 et 9x = 9 × 6 = 54.
54 = 54 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 6 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 2 et 61. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 9, 36.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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