Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
B = (5 + 6)² = 11² = 121
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 × (5 − 4) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 5 et 4.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = 2 + 2 × 4 est une somme : c'est la somme de 2 et du produit de 2 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 112 = 784 ≤ 785 < 791 = 7 × 113 : le quotient est 112, le reste 785 − 784 = 1.
785 = 7 × 112 + 1, avec 1 < 7.
16 × 99 = 1 584 ≤ 1 595 < 1 600 = 16 × 100 : le quotient est 99, le reste 1 595 − 1 584 = 11.
1 595 = 16 × 99 + 11, avec 11 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 234 = 11 × 22 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 234 = 11 × 21 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 234 = 11 × 20 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 21, reste 3.
Comme 3 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 234 par 21 : quotient 11, reste 3.
3. 228 = 7 × 32 + 4
a) 228 jours font 32 semaines complètes et 4 jours.
Après 32 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 4 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi.
b) Dans 228 jours, nous serons jeudi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 131 | non | oui | non | oui | non |
| 8 560 | oui | non | oui | non | oui |
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 2 078 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 131 → 4 + 1 + 3 + 1 = 9 8 560 → 8 + 5 + 6 + 0 = 19 265 → 2 + 6 + 5 = 13
507 → 5 + 0 + 7 = 12 2 078 → 2 + 0 + 7 + 8 = 17
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 5 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 252, 258.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 414, somme des chiffres 9.
« 188 est un multiple de 7. » Faux. 188 = 7 × 26 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 + 4 × 4 = 20 + 16 = 36
B = 7 × 4 − 2 × 2 = 28 − 4 = 24
C = (3 + 7) × 3 − 2 = 10 × 3 − 2 = 30 − 2 = 28
D = 9,7 + 4 × 1,2 = 9,7 + 4,8 = 14,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 9 − (5 − 4) = 9 + 9 − 1 = 18 − 1 = 17
4 × 4 − (5 + 7) = 4 × 4 − 12 = 16 − 12 = 4
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 35 + 7,8 + 65 = 35 + 65 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 15 × 11 = 15 × (10 + 1) = 15 × 10 + 15 × 1 = 150 + 15 = 165
G = 23 × 27 + 23 × 73 = 23 × (27 + 73) = 23 × 100 = 2 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 8 × 8 = 8² 6 × 6 × 6 = 6³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 31 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 31 < 36 = 6²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²)
100 = 10² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 8 = 3 × 4 − 8 = 12 − 8 = 4
B = (3 × 2)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : (a + 2)² = (5 + 2)² = 7² = 49
Pour a = 0,5 : (a + 2)² = (0,5 + 2)² = 2,5² = 6,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 80 :
8² = 64 ≤ 80 et 9² = 81 > 80.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
80 − 64 = 16
b) Il lui restera 16 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 55 et 85. » → encore 29 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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