Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (9 + 7) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 7 par 7.
D = 36 − 7 × 4 est une différence : c'est la différence entre 36 et le produit de 7 par 4.
E = 8 + 8 × 5 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 8 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 156 = 468 ≤ 470 < 471 = 3 × 157 : le quotient est 156, le reste 470 − 468 = 2.
470 = 3 × 156 + 2, avec 2 < 3.
14 × 34 = 476 ≤ 481 < 490 = 14 × 35 : le quotient est 34, le reste 481 − 476 = 5.
481 = 14 × 34 + 5, avec 5 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 162 = 8 × 21 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 162 = 8 × 19 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 162 = 8 × 20 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 20, reste 2.
Comme 2 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 162 par 20 : quotient 8, reste 2.
3. 296 = 20 × 14 + 16
En 14 soirs, elle lit 280 pages ; il lui en reste encore 16.
a) Il lui faut 14 + 1 = 15 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 16 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 578 | oui | non | non | non | non |
| 8 451 | non | oui | non | oui | non |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 1 930 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
6 578 → 6 + 5 + 7 + 8 = 26 8 451 → 8 + 4 + 5 + 1 = 18 807 → 8 + 0 + 7 = 15
605 → 6 + 0 + 5 = 11 1 930 → 1 + 9 + 3 + 0 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 1 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 510.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 80. » Vrai. 80 = 5 × 16 : le reste de la division de 80 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 71 − 4 × 4 = 71 − 16 = 55
B = 16 ÷ 8 × 5 = 2 × 5 = 10
C = (5 + 7) × 2 − 10 = 12 × 2 − 10 = 24 − 10 = 14
D = [9 + 8 × (8 − 4)] ÷ 5 = [9 + 8 × 4] ÷ 5 = [9 + 32] ÷ 5 = 41 ÷ 5 = 8,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 6) × 6 + 2 = 12 × 6 + 2 = 72 + 2 = 74
2 + (5 + 9) × 6 = 2 + 14 × 6 = 2 + 84 = 86
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 52 + 12,6 + 48 = 52 + 48 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 29 × 9 = 29 × (10 − 1) = 29 × 10 − 29 × 1 = 290 − 29 = 261
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 89 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 89 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 1 = 2 × 2² − 1 = 2 × 4 − 1 = 8 − 1 = 7
B = (2a)² − 1 = (2 × 2)² − 1 = 4² − 1 = 16 − 1 = 15
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
2 × 4 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 21 et 75. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.