Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (28 + 8) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9
B = 28 + 8 ÷ 4 = 28 + 2 = 30
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (12 + 5) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 5 par 3.
D = 12² − 132 est une différence : c'est la différence entre le carré de 12 et 132.
E = (17 + 1) ÷ 6 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 17 et 1 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 137 = 685 ≤ 689 < 690 = 5 × 138 : le quotient est 137, le reste 689 − 685 = 4.
689 = 5 × 137 + 4, avec 4 < 5.
22 × 17 = 374 ≤ 378 < 396 = 22 × 18 : le quotient est 17, le reste 378 − 374 = 4.
378 = 22 × 17 + 4, avec 4 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 96 = 7 × 14 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 96 = 7 × 12 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 96 = 7 × 13 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 13, reste 5.
Comme 5 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 96 par 13 : quotient 7, reste 5.
3. 47 = 7 × 6 + 5
a) 47 jours font 6 semaines complètes et 5 jours.
Après 6 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 5 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi.
b) Dans 47 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 467 | non | oui | non | oui | non |
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 8 330 | oui | non | oui | non | oui |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 6 736 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 467 → 1 + 4 + 6 + 7 = 18 445 → 4 + 4 + 5 = 13 8 330 → 8 + 3 + 3 + 0 = 14
471 → 4 + 7 + 1 = 12 6 736 → 6 + 7 + 3 + 6 = 22
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 9 + □ = 11 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 15
Une seule solution : 294.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 87 est un multiple de 5. » Faux. 87 = 5 × 17 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 + 3 × 2 = 21 + 6 = 27
B = 12 ÷ 4 × 5 = 3 × 5 = 15
C = (3 + 11) × 2 − 18 = 14 × 2 − 18 = 28 − 18 = 10
D = 4 × [31 − (6 + 8)] = 4 × [31 − 14] = 4 × 17 = 68
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (8 + 5) − 4 = 7 × 13 − 4 = 91 − 4 = 87
4 + (8 + 8) × 9 = 4 + 16 × 9 = 4 + 144 = 148
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 × 63 − 19 × 53 = 19 × (63 − 53) = 19 × 10 = 190
F = 2 × 27 × 50 = 2 × 50 × 27 = 100 × 27 = 2 700
G = 17 × 11 = 17 × (10 + 1) = 17 × 10 + 17 × 1 = 170 + 17 = 187
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 = 6²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (2 + 1)² = 2² + 1² » Faux. (2 + 1)² = 3² = 9, alors que 2² + 1² = 4 + 1 = 5.
« 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²)
67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
121 = 11² : carré 123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 2 = 4 × 5² − 2 = 4 × 25 − 2 = 100 − 2 = 98
B = (4a)² − 2 = (4 × 5)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 112 et 170. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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