Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 1)² = 4² = 16
B = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 4² − 4 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 4 et 4.
D = 6 × (6 − 5) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 6 et 5.
E = 8 + 36 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 8 et du quotient de 36 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 104 = 416 ≤ 417 < 420 = 4 × 105 : le quotient est 104, le reste 417 − 416 = 1.
417 = 4 × 104 + 1, avec 1 < 4.
20 × 91 = 1 820 ≤ 1 825 < 1 840 = 20 × 92 : le quotient est 91, le reste 1 825 − 1 820 = 5.
1 825 = 20 × 91 + 5, avec 5 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 209 = 7 × 30 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 209 = 7 × 29 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 209 = 7 × 28 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 29, reste 6.
Comme 6 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 209 par 29 : quotient 7, reste 6.
3. 161 = 6 × 26 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 26 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 355 | non | non | oui | non | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 2 590 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 266 | oui | non | non | non | non |
| 1 701 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
355 → 3 + 5 + 5 = 13 471 → 4 + 7 + 1 = 12 2 590 → 2 + 5 + 9 + 0 = 16
6 266 → 6 + 2 + 6 + 6 = 20 1 701 → 1 + 7 + 0 + 1 = 9
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 3 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 435.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 6 est un diviseur de 156. » Vrai. 156 = 6 × 26 : le reste de la division de 156 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 8 × 5 = 22 + 40 = 62
B = 5 × 2 − 2 × 4 = 10 − 8 = 2
C = 65 − 3 × (13 − 8) = 65 − 3 × 5 = 65 − 15 = 50
D = 3,6 + 2 × 2,5 = 3,6 + 5 = 8,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × 2 × (5 − 4) = 5 × 2 × 1 = 10 × 1 = 10
9 × 2 × (3 + 2) = 9 × 2 × 5 = 18 × 5 = 90
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,7 + 4,5 × 0,3 = 4,5 × (0,7 + 0,3) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 2 × 24 × 50 = 2 × 50 × 24 = 100 × 24 = 2 400
G = 48 × 99 = 48 × (100 − 1) = 48 × 100 − 48 × 1 = 4 800 − 48 = 4 752
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 × 4 = 4³ 11 × 11 = 11²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (5 + 4)² = 5² + 4² » Faux. (5 + 4)² = 9² = 81, alors que 5² + 4² = 25 + 16 = 41.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²) 116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²)
123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 3 = 3 × 16 − 3 = 48 − 3 = 45
B = (3 × 4)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
D = (2 + 6)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 6 : (x + 7)² = (6 + 7)² = 13² = 169
Pour x = 10 : (x + 7)² = (10 + 7)² = 17² = 289
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 28. » → encore 26 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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