Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (9 + 3) × 8 = 12 × 8 = 96
B = 9 + 3 × 8 = 9 + 24 = 33
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (18 + 2) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 18 et 2 par 4.
D = 8² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 7.
E = 3 × 3² − 4 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 3 et 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 74 = 444 ≤ 449 < 450 = 6 × 75 : le quotient est 74, le reste 449 − 444 = 5.
449 = 6 × 74 + 5, avec 5 < 6.
17 × 67 = 1 139 ≤ 1 143 < 1 156 = 17 × 68 : le quotient est 67, le reste 1 143 − 1 139 = 4.
1 143 = 17 × 67 + 4, avec 4 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 369 = 11 × 32 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 369 = 11 × 33 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 369 = 11 × 34 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 33, reste 6.
Comme 6 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 369 par 33 : quotient 11, reste 6.
3. 146 = 6 × 24 + 2, avec 2 < 6
a) Elle remplit 24 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 540 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 417 | non | oui | non | oui | non |
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 2 954 | oui | non | non | non | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 540 → 7 + 5 + 4 + 0 = 16 6 417 → 6 + 4 + 1 + 7 = 18 565 → 5 + 6 + 5 = 16
2 954 → 2 + 9 + 5 + 4 = 20 867 → 8 + 6 + 7 = 21
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 0 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 810.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 7 est un diviseur de 189. » Vrai. 189 = 7 × 27 : le reste de la division de 189 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 71 − 6 × 2 = 71 − 12 = 59
B = 36 ÷ 9 × 5 = 4 × 5 = 20
C = (6 + 9) × 5 − 13 = 15 × 5 − 13 = 75 − 13 = 62
D = 2 × [23 − (8 + 6)] = 2 × [23 − 14] = 2 × 9 = 18
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 × 4 − 7) × 3 = (28 − 7) × 3 = 21 × 3 = 63
6 × (8 + 4) × 2 = 6 × 12 × 2 = 72 × 2 = 144
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,7 + 2,7 × 0,3 = 2,7 × (0,7 + 0,3) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 40 × 101 = 40 × (100 + 1) = 40 × 100 + 40 × 1 = 4 000 + 40 = 4 040
G = 89 + 3,45 + 11 = 89 + 11 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 6 × 6 = 6² 0,4 × 0,4 = 0,4²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 71 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 71 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 2 = 2 × 9 − 2 = 18 − 2 = 16
B = (2 × 3)² − 2 = 6² − 2 = 36 − 2 = 34
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 24 = 5² + 24 = 25 + 24 = 49 et 10n = 10 × 5 = 50.
49 ≠ 50 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Pour n = 4 : n² + 24 = 4² + 24 = 16 + 24 = 40 et 10n = 10 × 4 = 40.
40 = 40 : l'égalité est vraie pour n = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 4 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
2 × 2 = 4
a) Il faut 4 carreaux le long d'un côté.
4 rangées de 4 carreaux : 4² = 4 × 4 = 16
b) Il faut 16 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 5 et 55. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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