Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (38 − 6) × 5 = 32 × 5 = 160
B = 38 − 6 × 5 = 38 − 30 = 8
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
D = 16 + 45 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 16 et du quotient de 45 par 9.
E = (1 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 19 = 171 ≤ 172 < 180 = 9 × 20 : le quotient est 19, le reste 172 − 171 = 1.
172 = 9 × 19 + 1, avec 1 < 9.
25 × 58 = 1 450 ≤ 1 462 < 1 475 = 25 × 59 : le quotient est 58, le reste 1 462 − 1 450 = 12.
1 462 = 25 × 58 + 12, avec 12 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 264 = 9 × 28 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 264 = 9 × 29 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 264 = 9 × 30 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 29, reste 3.
Comme 3 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 264 par 29 : quotient 9, reste 3.
3. 54 = 4 × 13 + 2, avec 2 < 4
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 4 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 479 | non | oui | non | oui | non |
| 985 | non | non | oui | non | non |
| 9 796 | oui | non | non | non | non |
| 7 710 | oui | oui | oui | non | oui |
| 141 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 479 → 7 + 4 + 7 + 9 = 27 985 → 9 + 8 + 5 = 22 9 796 → 9 + 7 + 9 + 6 = 31
7 710 → 7 + 7 + 1 + 0 = 15 141 → 1 + 4 + 1 = 6
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 5 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 450.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 28 est pair mais 28 = 3 × 9 + 1.
« 136 est un multiple de 6. » Faux. 136 = 6 × 22 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 9 × 8 = 18 + 72 = 90
B = 24 ÷ 3 × 4 = 8 × 4 = 32
C = (3 × 7 − 1) ÷ 2 = (21 − 1) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
D = 3,8 + 5 × 0,2 = 3,8 + 1 = 4,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (6 + 5) − 8 = 5 × 11 − 8 = 55 − 8 = 47
(6 × 7 + 6) × 3 = (42 + 6) × 3 = 48 × 3 = 144
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 25 × 37 + 25 × 63 = 25 × (37 + 63) = 25 × 100 = 2 500
F = 33 × 99 = 33 × (100 − 1) = 33 × 100 − 33 × 1 = 3 300 − 33 = 3 267
G = 28 + 12,6 + 72 = 28 + 72 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 4 × 4 × 4 = 4³ 8 × 8 = 8²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 2 = 4 × 16 − 2 = 64 − 2 = 62
B = (4 × 4)² − 2 = 16² − 2 = 256 − 2 = 254
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : n³ + 9 = 4³ + 9 = 64 + 9 = 73
Pour n = 10 : n³ + 9 = 10³ + 9 = 1 000 + 9 = 1 009
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 31. » → encore 29 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 4, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.