Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 48 + 54 ÷ 6 = 48 + 9 = 57
B = (48 + 54) ÷ 6 = 102 ÷ 6 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (11 + 4) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 11 et 4 par 2.
D = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
E = 6² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 109 = 981 ≤ 982 < 990 = 9 × 110 : le quotient est 109, le reste 982 − 981 = 1.
982 = 9 × 109 + 1, avec 1 < 9.
26 × 57 = 1 482 ≤ 1 487 < 1 508 = 26 × 58 : le quotient est 57, le reste 1 487 − 1 482 = 5.
1 487 = 26 × 57 + 5, avec 5 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 511 = 14 × 36 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 511 = 14 × 35 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 511 = 14 × 37 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 36, reste 7.
Comme 7 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 511 par 36 : quotient 14, reste 7.
3. 55 = 6 × 9 + 1, avec 1 < 6
a) Elle remplit 9 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 976 | oui | non | non | non | non |
| 5 661 | non | oui | non | oui | non |
| 9 520 | oui | non | oui | non | oui |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 395 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
1 976 → 1 + 9 + 7 + 6 = 23 5 661 → 5 + 6 + 6 + 1 = 18 9 520 → 9 + 5 + 2 + 0 = 16
111 → 1 + 1 + 1 = 3 395 → 3 + 9 + 5 = 17
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 1 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 531.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 30 est divisible par 3 (30 = 3 × 10) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 6 est un diviseur de 168. » Vrai. 168 = 6 × 28 : le reste de la division de 168 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 9 × 2 = 22 + 18 = 40
B = 8 × 6 − 3 × 4 = 48 − 12 = 36
C = (8 × 8 − 5) ÷ 4 = (64 − 5) ÷ 4 = 59 ÷ 4 = 14,75
D = 2,3 + 4 × 0,2 = 2,3 + 0,8 = 3,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 9 × 2) × 8 = (4 + 18) × 8 = 22 × 8 = 176
3 + (8 + 3) × 3 = 3 + 11 × 3 = 3 + 33 = 36
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 59 × 125 = 8 × 125 × 59 = 1 000 × 59 = 59 000
F = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 31 × 9 = 31 × (10 − 1) = 31 × 10 − 31 × 1 = 310 − 31 = 279
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 × 4 = 4³ 11 × 11 = 11²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (4 + 5)² = 4² + 5² » Faux. (4 + 5)² = 9² = 81, alors que 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
10 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 10 < 16 = 4²) 16 = 4² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
110 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 110 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 3 = 4 × 25 − 3 = 100 − 3 = 97
B = (4 × 5)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 2a³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 120 et 171. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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