Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 5 + 5 × 3 = 5 + 15 = 20
B = (5 + 5) × 3 = 10 × 3 = 30
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (11 + 3) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 11 et 3 par 8.
D = 11 + 36 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 36 par 4.
E = 4 × 2² − 8 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 2 et 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 111 = 444 ≤ 445 < 448 = 4 × 112 : le quotient est 111, le reste 445 − 444 = 1.
445 = 4 × 111 + 1, avec 1 < 4.
15 × 62 = 930 ≤ 942 < 945 = 15 × 63 : le quotient est 62, le reste 942 − 930 = 12.
942 = 15 × 62 + 12, avec 12 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 236 = 9 × 25 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 236 = 9 × 26 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 236 = 9 × 27 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 26, reste 2.
Comme 2 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 236 par 26 : quotient 9, reste 2.
3. 54 = 5 × 10 + 4, avec 4 < 5
a) Chaque joueur reçoit 10 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 570 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 865 | non | non | oui | non | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 4 167 | non | oui | non | oui | non |
| 8 962 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 570 → 6 + 5 + 7 + 0 = 18 865 → 8 + 6 + 5 = 19 597 → 5 + 9 + 7 = 21
4 167 → 4 + 1 + 6 + 7 = 18 8 962 → 8 + 9 + 6 + 2 = 25
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 4 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 18
Une seule solution : 684.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 128. » Faux. 128 = 5 × 25 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 34 − 7 + 12 = 27 + 12 = 39
B = 4 × 7 − 4 × 5 = 28 − 20 = 8
C = (9 × 3 − 3) ÷ 2 = (27 − 3) ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12
D = [3 + 6 × (11 − 3)] ÷ 2 = [3 + 6 × 8] ÷ 2 = [3 + 48] ÷ 2 = 51 ÷ 2 = 25,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (7 × 3 − 4) = 8 × (21 − 4) = 8 × 17 = 136
8 + 3 − (2 − 2) = 8 + 3 − 0 = 11 − 0 = 11
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,7 + 2,7 × 0,3 = 2,7 × (0,7 + 0,3) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 38 × 9 = 38 × (10 − 1) = 38 × 10 − 38 × 1 = 380 − 38 = 342
G = 5 × 33 × 20 = 5 × 20 × 33 = 100 × 33 = 3 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 11 × 11 = 11²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²) 117 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 117 < 121 = 11²)
126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 2 = 5 × 9 − 2 = 45 − 2 = 43
B = (5 × 3)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 7 : n² + 3 = 7² + 3 = 49 + 3 = 52 et 4n = 4 × 7 = 28.
52 ≠ 28 : l'égalité est fausse pour n = 7.
Pour n = 3 : n² + 3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12 et 4n = 4 × 3 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 3 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
5 × 4 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 55. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Mon chiffre des unités est 7. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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