Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 4)² = 6² = 36
B = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 7.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = (4 + 8) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 4 et 8 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 44 = 308 ≤ 313 < 315 = 7 × 45 : le quotient est 44, le reste 313 − 308 = 5.
313 = 7 × 44 + 5, avec 5 < 7.
20 × 108 = 2 160 ≤ 2 179 < 2 180 = 20 × 109 : le quotient est 108, le reste 2 179 − 2 160 = 19.
2 179 = 20 × 108 + 19, avec 19 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 157 = 11 × 14 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 157 = 11 × 15 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 157 = 11 × 13 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 14, reste 3.
Comme 3 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 157 par 14 : quotient 11, reste 3.
3. 108 = 8 × 13 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 925 | non | non | oui | non | non |
| 321 | non | oui | non | non | non |
| 1 341 | non | oui | non | oui | non |
| 5 398 | oui | non | non | non | non |
| 3 220 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
925 → 9 + 2 + 5 = 16 321 → 3 + 2 + 1 = 6 1 341 → 1 + 3 + 4 + 1 = 9
5 398 → 5 + 3 + 9 + 8 = 25 3 220 → 3 + 2 + 2 + 0 = 7
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 4 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 234.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 60 est divisible par 3 (60 = 3 × 20) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 3 est un diviseur de 61. » Faux. 61 = 3 × 20 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 19 + 6 × 8 = 19 + 48 = 67
B = 6 + 48 ÷ 8 × 2 = 6 + 6 × 2 = 6 + 12 = 18
C = (5 × 4 − 2) ÷ 5 = (20 − 2) ÷ 5 = 18 ÷ 5 = 3,6
D = 8,6 + 6 × 0,2 = 8,6 + 1,2 = 9,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × 2 − (3 + 3) = 8 × 2 − 6 = 16 − 6 = 10
(2 + 5 + 9) × 4 = (7 + 9) × 4 = 16 × 4 = 64
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 37 × 9 = 37 × (10 − 1) = 37 × 10 − 37 × 1 = 370 − 37 = 333
F = 32 × 70 + 32 × 30 = 32 × (70 + 30) = 32 × 100 = 3 200
G = 29 + 3,45 + 71 = 29 + 71 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 7 × 7 = 7² 4 × 4 × 4 = 4³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (5 + 1)² = 5² + 1² » Faux. (5 + 1)² = 6² = 36, alors que 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 34 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 34 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 53 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 53 < 64 = 8²)
88 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 88 < 100 = 10²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 7 = 4 × 9 − 7 = 36 − 7 = 29
B = (4 × 3)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
C = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
D = (2 + 6)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 3 = 4 × 4² − 3 = 4 × 16 − 3 = 64 − 3 = 61
B = (4a)² − 3 = (4 × 4)² − 3 = 16² − 3 = 256 − 3 = 253
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 71 et 115. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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