Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 7)² = 12² = 144
B = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (6 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 2.
D = 15 + 2 × 9 est une somme : c'est la somme de 15 et du produit de 2 par 9.
E = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 169 = 676 ≤ 677 < 680 = 4 × 170 : le quotient est 169, le reste 677 − 676 = 1.
677 = 4 × 169 + 1, avec 1 < 4.
28 × 15 = 420 ≤ 440 < 448 = 28 × 16 : le quotient est 15, le reste 440 − 420 = 20.
440 = 28 × 15 + 20, avec 20 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 434 = 11 × 40 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 434 = 11 × 38 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 434 = 11 × 39 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 39, reste 5.
Comme 5 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 434 par 39 : quotient 11, reste 5.
3. 218 = 15 × 14 + 8
En 14 soirs, elle lit 210 pages ; il lui en reste encore 8.
a) Il lui faut 14 + 1 = 15 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 8 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 6 962 | oui | non | non | non | non |
| 8 960 | oui | non | oui | non | oui |
| 8 577 | non | oui | non | oui | non |
| 355 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
777 → 7 + 7 + 7 = 21 6 962 → 6 + 9 + 6 + 2 = 23 8 960 → 8 + 9 + 6 + 0 = 23
8 577 → 8 + 5 + 7 + 7 = 27 355 → 3 + 5 + 5 = 13
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 2 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 612, 642, 672.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 160. » Vrai. 160 = 8 × 20 : le reste de la division de 160 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 55 − 3 × 5 = 55 − 15 = 40
B = 6 + 72 ÷ 8 × 3 = 6 + 9 × 3 = 6 + 27 = 33
C = 88 − 3 × (11 − 4) = 88 − 3 × 7 = 88 − 21 = 67
D = 4,1 + 3 × 1,2 = 4,1 + 3,6 = 7,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 6 − 2) × 7 = (14 − 2) × 7 = 12 × 7 = 84
(2 × 9 − 2) × 4 = (18 − 2) × 4 = 16 × 4 = 64
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 × 101 = 19 × (100 + 1) = 19 × 100 + 19 × 1 = 1 900 + 19 = 1 919
F = 2 × 74 × 5 = 2 × 5 × 74 = 10 × 74 = 740
G = 24 × 50 − 24 × 40 = 24 × (50 − 40) = 24 × 10 = 240
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 2,5 × 2,5 = 2,5² 2 × 2 × 2 = 2³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (1 + 5)² = 1² + 5² » Faux. (1 + 5)² = 6² = 36, alors que 1² + 5² = 1 + 25 = 26.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 31 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 31 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²)
107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 9 = 5 × 16 − 9 = 80 − 9 = 71
B = (5 × 4)² − 9 = 20² − 9 = 400 − 9 = 391
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 7 = 4 × 2² − 7 = 4 × 4 − 7 = 16 − 7 = 9
B = (4x)² − 7 = (4 × 2)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 33 et 88. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.