Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (22 − 4) × 3 = 18 × 3 = 54
B = 22 − 4 × 3 = 22 − 12 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (4 + 36) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 4 et 36 par 5.
D = 6 × (12 − 11) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 12 et 11.
E = 10 + 48 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 10 et du quotient de 48 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 138 = 552 ≤ 554 < 556 = 4 × 139 : le quotient est 138, le reste 554 − 552 = 2.
554 = 4 × 138 + 2, avec 2 < 4.
29 × 55 = 1 595 ≤ 1 605 < 1 624 = 29 × 56 : le quotient est 55, le reste 1 605 − 1 595 = 10.
1 605 = 29 × 55 + 10, avec 10 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 120 = 14 × 8 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 120 = 14 × 9 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 120 = 14 × 7 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 8.
3. 142 = 6 × 23 + 4, avec 4 < 6
a) Elle remplit 23 boîtes pleines.
b) Il reste 4 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 481 | non | oui | non | oui | non |
| 267 | non | oui | non | non | non |
| 9 872 | oui | non | non | non | non |
| 6 090 | oui | oui | oui | non | oui |
| 445 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 481 → 5 + 4 + 8 + 1 = 18 267 → 2 + 6 + 7 = 15 9 872 → 9 + 8 + 7 + 2 = 26
6 090 → 6 + 0 + 9 + 0 = 15 445 → 4 + 4 + 5 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 8 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 285.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 9 est un diviseur de 126. » Vrai. 126 = 9 × 14 : le reste de la division de 126 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 55 − 11 + 11 = 44 + 11 = 55
B = 63 ÷ 9 × 2 = 7 × 2 = 14
C = (9 + 4) × 6 − 13 = 13 × 6 − 13 = 78 − 13 = 65
D = 8,3 + 6 × 2,5 = 8,3 + 15 = 23,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (8 − 4) − 5 = 8 × 4 − 5 = 32 − 5 = 27
3 × (4 + 7) + 7 = 3 × 11 + 7 = 33 + 7 = 40
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 43 × 68 + 43 × 32 = 43 × (68 + 32) = 43 × 100 = 4 300
F = 46 × 99 = 46 × (100 − 1) = 46 × 100 − 46 × 1 = 4 600 − 46 = 4 554
G = 8 × 17 × 125 = 8 × 125 × 17 = 1 000 × 17 = 17 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 4 × 4 = 4²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (5 + 1)² = 5² + 1² » Faux. (5 + 1)² = 6² = 36, alors que 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
36 = 6² : carré 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²) 149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 8 = 3 × 9 − 8 = 27 − 8 = 19
B = (3 × 3)² − 8 = 9² − 8 = 81 − 8 = 73
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : x³ + 3 = 5³ + 3 = 125 + 3 = 128
Pour x = 10 : x³ + 3 = 10³ + 3 = 1 000 + 3 = 1 003
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 168 :
12² = 144 ≤ 168 et 13² = 169 > 168.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
168 − 144 = 24
b) Il lui restera 24 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 8 et 22. » → encore 13 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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