Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (24 + 36) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15
B = 24 + 36 ÷ 4 = 24 + 9 = 33
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × 7² − 8 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 7 et 8.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = 3² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 155 = 620 ≤ 621 < 624 = 4 × 156 : le quotient est 155, le reste 621 − 620 = 1.
621 = 4 × 155 + 1, avec 1 < 4.
21 × 101 = 2 121 ≤ 2 124 < 2 142 = 21 × 102 : le quotient est 101, le reste 2 124 − 2 121 = 3.
2 124 = 21 × 101 + 3, avec 3 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 155 = 11 × 13 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 155 = 11 × 14 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 155 = 11 × 15 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 1.
Comme 1 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 155 par 14 : quotient 11, reste 1.
3. 271 = 7 × 38 + 5
a) 271 jours font 38 semaines complètes et 5 jours.
Après 38 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 5 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 271 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 6 147 | non | oui | non | oui | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 6 002 | oui | non | non | non | non |
| 9 650 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
265 → 2 + 6 + 5 = 13 6 147 → 6 + 1 + 4 + 7 = 18 867 → 8 + 6 + 7 = 21
6 002 → 6 + 0 + 0 + 2 = 8 9 650 → 9 + 6 + 5 + 0 = 20
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 0 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 720.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 93 est divisible par 3 (93 = 3 × 31) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 6 est un diviseur de 120. » Vrai. 120 = 6 × 20 : le reste de la division de 120 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 56 − 11 + 15 = 45 + 15 = 60
B = 18 + 40 ÷ 8 × 3 = 18 + 5 × 3 = 18 + 15 = 33
C = (5 + 12) × 3 − 6 = 17 × 3 − 6 = 51 − 6 = 45
D = 6,5 + 5 × 1,2 = 6,5 + 6 = 12,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 6 × 2) × 5 = (6 + 12) × 5 = 18 × 5 = 90
4 + (5 + 3) × 7 = 4 + 8 × 7 = 4 + 56 = 60
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 + 12,6 + 80 = 20 + 80 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 32 × 87 + 32 × 13 = 32 × (87 + 13) = 32 × 100 = 3 200
G = 34 × 101 = 34 × (100 + 1) = 34 × 100 + 34 × 1 = 3 400 + 34 = 3 434
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 6 × 6 × 6 = 6³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 2 = 5 × 25 − 2 = 125 − 2 = 123
B = (5 × 5)² − 2 = 25² − 2 = 625 − 2 = 623
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 18 = 8² + 18 = 64 + 18 = 82 et 9n = 9 × 8 = 72.
82 ≠ 72 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 3 : n² + 18 = 3² + 18 = 9 + 18 = 27 et 9n = 9 × 3 = 27.
27 = 27 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 3 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 90 et 131. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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