Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 4)² = 6² = 36
B = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = 10 + 3 × 3 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 3 par 3.
E = (3 + 2) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 2 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 245 = 980 ≤ 983 < 984 = 4 × 246 : le quotient est 245, le reste 983 − 980 = 3.
983 = 4 × 245 + 3, avec 3 < 4.
26 × 13 = 338 ≤ 362 < 364 = 26 × 14 : le quotient est 13, le reste 362 − 338 = 24.
362 = 26 × 13 + 24, avec 24 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 502 = 15 × 33 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 502 = 15 × 32 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 502 = 15 × 34 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 33, reste 7.
Comme 7 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 502 par 33 : quotient 15, reste 7.
3. 134 = 25 × 5 + 9
En 5 soirs, elle lit 125 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 120 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 2 709 | non | oui | non | oui | non |
| 9 278 | oui | non | non | non | non |
| 965 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
6 120 → 6 + 1 + 2 + 0 = 9 417 → 4 + 1 + 7 = 12 2 709 → 2 + 7 + 0 + 9 = 18
9 278 → 9 + 2 + 7 + 8 = 26 965 → 9 + 6 + 5 = 20
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 3 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 333.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 64 est pair mais 64 = 3 × 21 + 1.
« 8 est un diviseur de 88. » Vrai. 88 = 8 × 11 : le reste de la division de 88 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 74 − 3 × 3 = 74 − 9 = 65
B = 42 ÷ 7 × 4 = 6 × 4 = 24
C = (4 × 7 − 2) ÷ 4 = (28 − 2) ÷ 4 = 26 ÷ 4 = 6,5
D = 5 × [36 − (7 + 4)] = 5 × [36 − 11] = 5 × 25 = 125
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + (4 − 4) × 2 = 6 + 0 × 2 = 6 + 0 = 6
8 × 4 − (9 − 7) = 8 × 4 − 2 = 32 − 2 = 30
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
F = 2 × 85 × 5 = 2 × 5 × 85 = 10 × 85 = 850
G = 17 × 11 = 17 × (10 + 1) = 17 × 10 + 17 × 1 = 170 + 17 = 187
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 3 × 3 × 3 = 3³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (4 + 1)² = 4² + 1² » Faux. (4 + 1)² = 5² = 25, alors que 4² + 1² = 16 + 1 = 17.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
99 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 99 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 6 = 2 × 36 − 6 = 72 − 6 = 66
B = (2 × 6)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : 2n³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 2² = π × 4 = 4π
a) L'aire exacte est 4π m².
4 × 3,14 = 12,56
b) L'aire vaut environ 13 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 2², et non (π × 2)². On élève 2 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 2 et 55. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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