Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 2) × 4 = 8 × 4 = 32
B = 6 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 2 par 3.
D = (5 + 9) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 5 et 9 par 7.
E = 7² − 42 est une différence : c'est la différence entre le carré de 7 et 42.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 102 = 918 ≤ 926 < 927 = 9 × 103 : le quotient est 102, le reste 926 − 918 = 8.
926 = 9 × 102 + 8, avec 8 < 9.
27 × 36 = 972 ≤ 978 < 999 = 27 × 37 : le quotient est 36, le reste 978 − 972 = 6.
978 = 27 × 36 + 6, avec 6 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 121 = 8 × 15 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 121 = 8 × 16 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 121 = 8 × 14 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 15, reste 1.
Comme 1 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 121 par 15 : quotient 8, reste 1.
3. 232 = 30 × 7 + 22
En 7 soirs, elle lit 210 pages ; il lui en reste encore 22.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 22 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 665 | non | non | oui | non | non |
| 2 362 | oui | non | non | non | non |
| 2 610 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 1 053 | non | oui | non | oui | non |
| 741 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
665 → 6 + 6 + 5 = 17 2 362 → 2 + 3 + 6 + 2 = 13 2 610 → 2 + 6 + 1 + 0 = 9
1 053 → 1 + 0 + 5 + 3 = 9 741 → 7 + 4 + 1 = 12
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 3 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 5 : 9 ; □ = 8 : 12
3 solutions : 123, 153, 183.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 603, somme des chiffres 9.
« 8 est un diviseur de 186. » Faux. 186 = 8 × 23 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 58 − 5 + 4 = 53 + 4 = 57
B = 5 × 3 − 2 × 6 = 15 − 12 = 3
C = (6 + 11) × 5 − 3 = 17 × 5 − 3 = 85 − 3 = 82
D = [3 + 5 × (11 − 1)] ÷ 5 = [3 + 5 × 10] ÷ 5 = [3 + 50] ÷ 5 = 53 ÷ 5 = 10,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 × 4 − 3) × 2 = (12 − 3) × 2 = 9 × 2 = 18
5 × (6 − 5) + 7 = 5 × 1 + 7 = 5 + 7 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 × 81 + 20 × 19 = 20 × (81 + 19) = 20 × 100 = 2 000
F = 43 × 9 = 43 × (10 − 1) = 43 × 10 − 43 × 1 = 430 − 43 = 387
G = 2 × 57 × 5 = 2 × 5 × 57 = 10 × 57 = 570
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 11 × 11 = 11² 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²)
36 = 6² : carré 59 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 59 < 64 = 8²)
114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 2 = 3 × 36 − 2 = 108 − 2 = 106
B = (3 × 6)² − 2 = 18² − 2 = 324 − 2 = 322
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : 7n² = 7 × 5² = 7 × 25 = 175
Pour n = 0,5 : 7n² = 7 × 0,5² = 7 × 0,25 = 1,75
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 32 :
5² = 25 ≤ 32 et 6² = 36 > 32.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
32 − 25 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 30 et 53. » → encore 22 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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