Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 10 + 12 ÷ 2 = 10 + 6 = 16
B = (10 + 12) ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 15 + 4 × 7 est une somme : c'est la somme de 15 et du produit de 4 par 7.
D = (2 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 7.
E = 48 − 7 × 6 est une différence : c'est la différence entre 48 et le produit de 7 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 164 = 820 ≤ 823 < 825 = 5 × 165 : le quotient est 164, le reste 823 − 820 = 3.
823 = 5 × 164 + 3, avec 3 < 5.
29 × 66 = 1 914 ≤ 1 938 < 1 943 = 29 × 67 : le quotient est 66, le reste 1 938 − 1 914 = 24.
1 938 = 29 × 66 + 24, avec 24 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 195 = 7 × 27 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 195 = 7 × 28 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 195 = 7 × 26 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 27, reste 6.
Comme 6 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 195 par 27 : quotient 7, reste 6.
3. 98 = 12 × 8 + 2
En 8 soirs, elle lit 96 pages ; il lui en reste encore 2.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 2 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 330 | oui | oui | oui | non | oui |
| 475 | non | non | oui | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 5 438 | oui | non | non | non | non |
| 6 453 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
6 330 → 6 + 3 + 3 + 0 = 12 475 → 4 + 7 + 5 = 16 897 → 8 + 9 + 7 = 24
5 438 → 5 + 4 + 3 + 8 = 20 6 453 → 6 + 4 + 5 + 3 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 5 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 555.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 167 est un multiple de 7. » Faux. 167 = 7 × 23 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 48 − 13 + 8 = 35 + 8 = 43
B = 7 × 6 − 2 × 5 = 42 − 10 = 32
C = (9 + 4) × 4 − 10 = 13 × 4 − 10 = 52 − 10 = 42
D = [8 + 9 × (12 − 5)] ÷ 5 = [8 + 9 × 7] ÷ 5 = [8 + 63] ÷ 5 = 71 ÷ 5 = 14,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 − 3 + 7) × 2 = (3 + 7) × 2 = 10 × 2 = 20
(9 + 4 + 2) × 6 = (13 + 2) × 6 = 15 × 6 = 90
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
F = 21 × 101 = 21 × (100 + 1) = 21 × 100 + 21 × 1 = 2 100 + 21 = 2 121
G = 46 + 5,05 + 54 = 46 + 54 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 × 6 = 6³ 12 × 12 = 12²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
36 = 6² : carré 69 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 69 < 81 = 9²)
92 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 92 < 100 = 10²) 109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 8 = 3 × 16 − 8 = 48 − 8 = 40
B = (3 × 4)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 7 = 2 × 3² − 7 = 2 × 9 − 7 = 18 − 7 = 11
B = (2a)² − 7 = (2 × 3)² − 7 = 6² − 7 = 36 − 7 = 29
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 81 et 160. » → encore 78 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.