Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 4) × 6 = 9 × 6 = 54
B = 5 + 4 × 6 = 5 + 24 = 29
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 35 − 6 × 3 est une différence : c'est la différence entre 35 et le produit de 6 par 3.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 5 × (11 − 9) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 11 et 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 44 = 220 ≤ 223 < 225 = 5 × 45 : le quotient est 44, le reste 223 − 220 = 3.
223 = 5 × 44 + 3, avec 3 < 5.
12 × 204 = 2 448 ≤ 2 452 < 2 460 = 12 × 205 : le quotient est 204, le reste 2 452 − 2 448 = 4.
2 452 = 12 × 204 + 4, avec 4 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 130 = 7 × 19 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 130 = 7 × 17 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 130 = 7 × 18 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 18, reste 4.
Comme 4 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 130 par 18 : quotient 7, reste 4.
3. 60 = 8 × 7 + 4
7 minibus pleins transportent 56 élèves ; il en reste 4 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 4 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 235 | non | non | oui | non | non |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 5 258 | oui | non | non | non | non |
| 5 740 | oui | non | oui | non | oui |
| 8 667 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
235 → 2 + 3 + 5 = 10 417 → 4 + 1 + 7 = 12 5 258 → 5 + 2 + 5 + 8 = 20
5 740 → 5 + 7 + 4 + 0 = 16 8 667 → 8 + 6 + 6 + 7 = 27
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 9 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 5 : 18 ; □ = 8 : 21
3 solutions : 429, 459, 489.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 603, somme des chiffres 9.
« 113 est un multiple de 6. » Faux. 113 = 6 × 18 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 8 × 8 = 9 + 64 = 73
B = 18 + 35 ÷ 7 × 2 = 18 + 5 × 2 = 18 + 10 = 28
C = (8 × 9 − 6) ÷ 5 = (72 − 6) ÷ 5 = 66 ÷ 5 = 13,2
D = 3,4 + 2 × 0,2 = 3,4 + 0,4 = 3,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 3 + 2) × 4 = (11 + 2) × 4 = 13 × 4 = 52
2 × (9 + 6 + 2) = 2 × (15 + 2) = 2 × 17 = 34
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 51 + 0,75 + 49 = 51 + 49 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1 300 − 13 = 1 287
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 4 × 4 = 4² 0,7 × 0,7 = 0,7²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²) 37 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 37 < 49 = 7²)
55 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 55 < 64 = 8²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 3 = 2 × 36 − 3 = 72 − 3 = 69
B = (2 × 6)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 12 = 2² + 12 = 4 + 12 = 16 et 8x = 8 × 2 = 16.
16 = 16 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 4 : x² + 12 = 4² + 12 = 16 + 12 = 28 et 8x = 8 × 4 = 32.
28 ≠ 32 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 2 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 55. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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