Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 11 + 24 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 24 par 4.
D = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
E = 4 × 7² − 10 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 7 et 10.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 95 = 570 ≤ 572 < 576 = 6 × 96 : le quotient est 95, le reste 572 − 570 = 2.
572 = 6 × 95 + 2, avec 2 < 6.
12 × 113 = 1 356 ≤ 1 363 < 1 368 = 12 × 114 : le quotient est 113, le reste 1 363 − 1 356 = 7.
1 363 = 12 × 113 + 7, avec 7 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 68 = 7 × 8 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 68 = 7 × 9 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 68 = 7 × 10 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 9, reste 5.
Comme 5 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 68 par 9 : quotient 7, reste 5.
3. 108 = 15 × 7 + 3
En 7 soirs, elle lit 105 pages ; il lui en reste encore 3.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 3 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 4 383 | non | oui | non | oui | non |
| 305 | non | non | oui | non | non |
| 6 430 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 756 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
717 → 7 + 1 + 7 = 15 4 383 → 4 + 3 + 8 + 3 = 18 305 → 3 + 0 + 5 = 8
6 430 → 6 + 4 + 3 + 0 = 13 4 756 → 4 + 7 + 5 + 6 = 22
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 6 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 846.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 33 est divisible par 3 (33 = 3 × 11) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 120 est un multiple de 6. » Vrai. 120 = 6 × 20 : le reste de la division de 120 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 90 − 6 × 8 = 90 − 48 = 42
B = 24 ÷ 8 × 2 = 3 × 2 = 6
C = (9 × 5 − 5) ÷ 2 = (45 − 5) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20
D = 4 × [35 − (2 + 3)] = 4 × [35 − 5] = 4 × 30 = 120
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (9 × 5 + 5) = 4 × (45 + 5) = 4 × 50 = 200
(7 + 3 × 9) × 2 = (7 + 27) × 2 = 34 × 2 = 68
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 25 × 25 = 4 × 25 × 25 = 100 × 25 = 2 500
F = 14 × 101 = 14 × (100 + 1) = 14 × 100 + 14 × 1 = 1 400 + 14 = 1 414
G = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 8 × 8 = 8² 0,7 × 0,7 = 0,7²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
49 = 7² : carré 71 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 71 < 81 = 9²)
74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²) 78 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 78 < 81 = 9²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 8 = 2 × 16 − 8 = 32 − 8 = 24
B = (2 × 4)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 15 = 1² + 15 = 1 + 15 = 16 et 8n = 8 × 1 = 8.
16 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Pour n = 3 : n² + 15 = 3² + 15 = 9 + 15 = 24 et 8n = 8 × 3 = 24.
24 = 24 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 3 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 83 :
9² = 81 ≤ 83 et 10² = 100 > 83.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
83 − 81 = 2
b) Il lui restera 2 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 47 et 106. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49, 81.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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