Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
B = (6 + 4)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 5) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 5 par 4.
D = (6 + 4) × 4 est un produit : c'est le produit de la somme de 6 et 4 par 4.
E = (3 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 47 = 423 ≤ 430 < 432 = 9 × 48 : le quotient est 47, le reste 430 − 423 = 7.
430 = 9 × 47 + 7, avec 7 < 9.
19 × 84 = 1 596 ≤ 1 603 < 1 615 = 19 × 85 : le quotient est 84, le reste 1 603 − 1 596 = 7.
1 603 = 19 × 84 + 7, avec 7 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 129 = 9 × 15 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 129 = 9 × 14 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 129 = 9 × 13 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 3.
Comme 3 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 129 par 14 : quotient 9, reste 3.
3. 71 = 6 × 11 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 11 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 550 | oui | non | oui | non | oui |
| 385 | non | non | oui | non | non |
| 9 112 | oui | non | non | non | non |
| 2 709 | non | oui | non | oui | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 550 → 4 + 5 + 5 + 0 = 14 385 → 3 + 8 + 5 = 16 9 112 → 9 + 1 + 1 + 2 = 13
2 709 → 2 + 7 + 0 + 9 = 18 141 → 1 + 4 + 1 = 6
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 3 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 6 : 18
2 solutions : 930, 936.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 84 est divisible par 3 (84 = 3 × 28) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 261 est un multiple de 9. » Vrai. 261 = 9 × 29 : le reste de la division de 261 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 47 − 9 + 12 = 38 + 12 = 50
B = 3 × 4 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
C = (5 × 4 − 8) ÷ 2 = (20 − 8) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6
D = 7,5 + 5 × 0,2 = 7,5 + 1 = 8,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 + 3) × 3 − 6 = 10 × 3 − 6 = 30 − 6 = 24
5 × (5 × 2 + 6) = 5 × (10 + 6) = 5 × 16 = 80
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 99 = 17 × (100 − 1) = 17 × 100 − 17 × 1 = 1 700 − 17 = 1 683
F = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
G = 4 × 29 × 25 = 4 × 25 × 29 = 100 × 29 = 2 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 7 × 7 = 7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (5 + 4)² = 5² + 4² » Faux. (5 + 4)² = 9² = 81, alors que 5² + 4² = 25 + 16 = 41.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
113 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 113 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 2 = 3 × 36 − 2 = 108 − 2 = 106
B = (3 × 6)² − 2 = 18² − 2 = 324 − 2 = 322
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 3 = 5² + 3 = 25 + 3 = 28 et 4n = 4 × 5 = 20.
28 ≠ 20 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Pour n = 3 : n² + 3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12 et 4n = 4 × 3 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 3 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 96 et 132. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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