Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 24 + 27 ÷ 3 = 24 + 9 = 33
B = (24 + 27) ÷ 3 = 51 ÷ 3 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 6.
D = (2 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 1.
E = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 76 = 608 ≤ 614 < 616 = 8 × 77 : le quotient est 76, le reste 614 − 608 = 6.
614 = 8 × 76 + 6, avec 6 < 8.
17 × 143 = 2 431 ≤ 2 438 < 2 448 = 17 × 144 : le quotient est 143, le reste 2 438 − 2 431 = 7.
2 438 = 17 × 143 + 7, avec 7 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 270 = 12 × 21 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 270 = 12 × 23 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 270 = 12 × 22 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 22, reste 6.
Comme 6 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 270 par 22 : quotient 12, reste 6.
3. 282 = 7 × 40 + 2
a) 282 jours font 40 semaines complètes et 2 jours.
Après 40 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 2 jours : dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 282 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 652 | oui | non | non | non | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 3 789 | non | oui | non | oui | non |
| 3 120 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
1 652 → 1 + 6 + 5 + 2 = 14 777 → 7 + 7 + 7 = 21 655 → 6 + 5 + 5 = 16
3 789 → 3 + 7 + 8 + 9 = 27 3 120 → 3 + 1 + 2 + 0 = 6
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 0 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 3 : 9 ; □ = 6 : 12 ; □ = 9 : 15
4 solutions : 600, 630, 660, 690.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 8 est un diviseur de 200. » Vrai. 200 = 8 × 25 : le reste de la division de 200 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 61 − 5 × 5 = 61 − 25 = 36
B = 6 ÷ 2 × 4 = 3 × 4 = 12
C = (8 × 9 − 7) ÷ 2 = (72 − 7) ÷ 2 = 65 ÷ 2 = 32,5
D = 2 × [28 − (7 + 9)] = 2 × [28 − 16] = 2 × 12 = 24
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 × 4 − 2) × 7 = (20 − 2) × 7 = 18 × 7 = 126
(7 − 5 + 9) × 9 = (2 + 9) × 9 = 11 × 9 = 99
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 88 × 25 = 4 × 25 × 88 = 100 × 88 = 8 800
F = 2,7 × 1,3 + 2,7 × 8,7 = 2,7 × (1,3 + 8,7) = 2,7 × 10 = 27
G = 44 × 99 = 44 × (100 − 1) = 44 × 100 − 44 × 1 = 4 400 − 44 = 4 356
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 1,1 × 1,1 = 1,1² 2 × 2 × 2 = 2³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 36 = 6² : carré
79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²) 80 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 80 < 81 = 9²)
105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 7 = 3 × 9 − 7 = 27 − 7 = 20
B = (3 × 3)² − 7 = 9² − 7 = 81 − 7 = 74
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 5 = 2 × 5² − 5 = 2 × 25 − 5 = 50 − 5 = 45
B = (2x)² − 5 = (2 × 5)² − 5 = 10² − 5 = 100 − 5 = 95
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 134 et 191. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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