Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
B = (4 + 1)² = 5² = 25
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 2.
D = 14 − 3 × 2 est une différence : c'est la différence entre 14 et le produit de 3 par 2.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 97 = 679 ≤ 680 < 686 = 7 × 98 : le quotient est 97, le reste 680 − 679 = 1.
680 = 7 × 97 + 1, avec 1 < 7.
17 × 99 = 1 683 ≤ 1 685 < 1 700 = 17 × 100 : le quotient est 99, le reste 1 685 − 1 683 = 2.
1 685 = 17 × 99 + 2, avec 2 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 435 = 12 × 37 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 435 = 12 × 36 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 435 = 12 × 35 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 36, reste 3.
Comme 3 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 435 par 36 : quotient 12, reste 3.
3. 210 = 25 × 8 + 10
En 8 soirs, elle lit 200 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 370 | oui | oui | oui | non | oui |
| 6 597 | non | oui | non | oui | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 1 282 | oui | non | non | non | non |
| 355 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 370 → 2 + 3 + 7 + 0 = 12 6 597 → 6 + 5 + 9 + 7 = 27 951 → 9 + 5 + 1 = 15
1 282 → 1 + 2 + 8 + 2 = 13 355 → 3 + 5 + 5 = 13
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 1 + □ = 2 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 6
Une seule solution : 114.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 42 est divisible par 3 (42 = 3 × 14) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 174 est un multiple de 6. » Vrai. 174 = 6 × 29 : le reste de la division de 174 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 7 + 12 = 44 + 12 = 56
B = 32 ÷ 8 × 4 = 4 × 4 = 16
C = (7 × 4 − 9) ÷ 2 = (28 − 9) ÷ 2 = 19 ÷ 2 = 9,5
D = 2 × [26 − (9 + 7)] = 2 × [26 − 16] = 2 × 10 = 20
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 7 − (6 − 5) = 7 + 7 − 1 = 14 − 1 = 13
(3 + 7) × 5 − 7 = 10 × 5 − 7 = 50 − 7 = 43
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 24 × 18 + 24 × 82 = 24 × (18 + 82) = 24 × 100 = 2 400
F = 47 × 101 = 47 × (100 + 1) = 47 × 100 + 47 × 1 = 4 700 + 47 = 4 747
G = 61 + 5,05 + 39 = 61 + 39 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 8 × 8 = 8² 2 × 2 × 2 = 2³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 36 = 6² : carré
51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
69 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 69 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 9 = 2 × 16 − 9 = 32 − 9 = 23
B = (2 × 4)² − 9 = 8² − 9 = 64 − 9 = 55
C = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
D = (5 + 7)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 2 = 5 × 5² − 2 = 5 × 25 − 2 = 125 − 2 = 123
B = (5a)² − 2 = (5 × 5)² − 2 = 25² − 2 = 625 − 2 = 623
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 143 et 200. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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