Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 21 − 4 × 5 = 21 − 20 = 1
B = (21 − 4) × 5 = 17 × 5 = 85
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 5.
D = 5 × (14 − 5) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 14 et 5.
E = 2² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 80 = 720 ≤ 727 < 729 = 9 × 81 : le quotient est 80, le reste 727 − 720 = 7.
727 = 9 × 80 + 7, avec 7 < 9.
23 × 25 = 575 ≤ 582 < 598 = 23 × 26 : le quotient est 25, le reste 582 − 575 = 7.
582 = 23 × 25 + 7, avec 7 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 361 = 12 × 30 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 361 = 12 × 31 − 11 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 361 = 12 × 29 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 30, reste 1.
Comme 1 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 361 par 30 : quotient 12, reste 1.
3. 66 = 12 × 5 + 6
5 minibus pleins transportent 60 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 6 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 689 | non | oui | non | oui | non |
| 6 806 | oui | non | non | non | non |
| 775 | non | non | oui | non | non |
| 5 710 | oui | non | oui | non | oui |
| 111 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 689 → 4 + 6 + 8 + 9 = 27 6 806 → 6 + 8 + 0 + 6 = 20 775 → 7 + 7 + 5 = 19
5 710 → 5 + 7 + 1 + 0 = 13 111 → 1 + 1 + 1 = 3
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 4 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 714, 744, 774.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 38 est pair mais 38 = 3 × 12 + 2.
« 114 est un multiple de 9. » Faux. 114 = 9 × 12 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 5 × 7 = 18 + 35 = 53
B = 54 ÷ 9 × 3 = 6 × 3 = 18
C = (5 × 9 − 1) ÷ 2 = (45 − 1) ÷ 2 = 44 ÷ 2 = 22
D = [5 + 6 × (8 − 4)] ÷ 2 = [5 + 6 × 4] ÷ 2 = [5 + 24] ÷ 2 = 29 ÷ 2 = 14,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (8 − 5) + 5 = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11
5 × 9 × (9 − 5) = 5 × 9 × 4 = 45 × 4 = 180
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 2 × 73 × 5 = 2 × 5 × 73 = 10 × 73 = 730
G = 35 × 101 = 35 × (100 + 1) = 35 × 100 + 35 × 1 = 3 500 + 35 = 3 535
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 × 4 = 4³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 36 = 6² : carré
51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²) 60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²)
132 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 132 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 6 = 4 × 25 − 6 = 100 − 6 = 94
B = (4 × 5)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
D = (2 + 1)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 4 = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2a)² − 4 = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
2 × 2 = 4
a) Il faut 4 carreaux le long d'un côté.
4 rangées de 4 carreaux : 4² = 4 × 4 = 16
b) Il faut 16 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 116 et 178. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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