Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (14 + 2) × 7 = 16 × 7 = 112
B = 14 + 2 × 7 = 14 + 14 = 28
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 2.
D = 47 − 6 × 5 est une différence : c'est la différence entre 47 et le produit de 6 par 5.
E = 3 + 56 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 56 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 76 = 684 ≤ 688 < 693 = 9 × 77 : le quotient est 76, le reste 688 − 684 = 4.
688 = 9 × 76 + 4, avec 4 < 9.
23 × 13 = 299 ≤ 302 < 322 = 23 × 14 : le quotient est 13, le reste 302 − 299 = 3.
302 = 23 × 13 + 3, avec 3 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 317 = 11 × 28 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 317 = 11 × 29 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 317 = 11 × 27 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 28, reste 9.
Comme 9 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 317 par 28 : quotient 11, reste 9.
3. 317 = 25 × 12 + 17
En 12 soirs, elle lit 300 pages ; il lui en reste encore 17.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 17 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 679 | non | oui | non | oui | non |
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 6 754 | oui | non | non | non | non |
| 6 010 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
5 679 → 5 + 6 + 7 + 9 = 27 265 → 2 + 6 + 5 = 13 417 → 4 + 1 + 7 = 12
6 754 → 6 + 7 + 5 + 4 = 22 6 010 → 6 + 0 + 1 + 0 = 7
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 9 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 18
Une seule solution : 189.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 180, somme des chiffres 9.
« 6 est un diviseur de 174. » Vrai. 174 = 6 × 29 : le reste de la division de 174 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 58 − 11 + 8 = 47 + 8 = 55
B = 14 ÷ 2 × 2 = 7 × 2 = 14
C = 75 − 2 × (19 − 3) = 75 − 2 × 16 = 75 − 32 = 43
D = [8 + 3 × (7 − 3)] ÷ 2 = [8 + 3 × 4] ÷ 2 = [8 + 12] ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 − 3 + 5) × 6 = (1 + 5) × 6 = 6 × 6 = 36
(4 + 7) × 8 + 7 = 11 × 8 + 7 = 88 + 7 = 95
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 74 × 25 = 4 × 25 × 74 = 100 × 74 = 7 400
F = 27 × 9 = 27 × (10 − 1) = 27 × 10 − 27 × 1 = 270 − 27 = 243
G = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 11 × 11 = 11² 3 × 3 × 3 = 3³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²) 62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 3 = 3 × 25 − 3 = 75 − 3 = 72
B = (3 × 5)² − 3 = 15² − 3 = 225 − 3 = 222
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 2 = 6² + 2 = 36 + 2 = 38 et 3x = 3 × 6 = 18.
38 ≠ 18 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Pour x = 1 : x² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 et 3x = 3 × 1 = 3.
3 = 3 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 1 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 155 et 206. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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