Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (11 − 5) × 2 = 6 × 2 = 12
B = 11 − 5 × 2 = 11 − 10 = 1
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 12 + 3 × 3 est une somme : c'est la somme de 12 et du produit de 3 par 3.
D = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
E = (7 + 3) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 3 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 75 = 300 ≤ 301 < 304 = 4 × 76 : le quotient est 75, le reste 301 − 300 = 1.
301 = 4 × 75 + 1, avec 1 < 4.
11 × 28 = 308 ≤ 309 < 319 = 11 × 29 : le quotient est 28, le reste 309 − 308 = 1.
309 = 11 × 28 + 1, avec 1 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 88 = 10 × 7 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 88 = 10 × 9 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 88 = 10 × 8 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 8, reste 8.
3. 178 = 12 × 14 + 10, avec 10 < 12
a) Elle remplit 14 boîtes pleines.
b) Il reste 10 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 4 620 | oui | oui | oui | non | oui |
| 5 972 | oui | non | non | non | non |
| 145 | non | non | oui | non | non |
| 6 633 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
951 → 9 + 5 + 1 = 15 4 620 → 4 + 6 + 2 + 0 = 12 5 972 → 5 + 9 + 7 + 2 = 23
145 → 1 + 4 + 5 = 10 6 633 → 6 + 6 + 3 + 3 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 3 + 3 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 6 : 12
2 solutions : 330, 336.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 15 est divisible par 3 (15 = 3 × 5) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 88 est un multiple de 4. » Vrai. 88 = 4 × 22 : le reste de la division de 88 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 6 × 4 = 18 + 24 = 42
B = 6 × 5 − 2 × 4 = 30 − 8 = 22
C = (8 + 3) × 2 − 19 = 11 × 2 − 19 = 22 − 19 = 3
D = 5 × [38 − (8 + 5)] = 5 × [38 − 13] = 5 × 25 = 125
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + 9 × (4 + 5) = 6 + 9 × 9 = 6 + 81 = 87
3 × (4 + 4) × 3 = 3 × 8 × 3 = 24 × 3 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 99 = 22 × (100 − 1) = 22 × 100 − 22 × 1 = 2 200 − 22 = 2 178
F = 12,5 × 0,8 + 12,5 × 0,2 = 12,5 × (0,8 + 0,2) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 8 × 36 × 125 = 8 × 125 × 36 = 1 000 × 36 = 36 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 = 4²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (4 + 5)² = 4² + 5² » Faux. (4 + 5)² = 9² = 81, alors que 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
144 = 12² : carré 148 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 148 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 1 = 3 × 16 − 1 = 48 − 1 = 47
B = (3 × 4)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 24 = 6² + 24 = 36 + 24 = 60 et 10x = 10 × 6 = 60.
60 = 60 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Pour x = 7 : x² + 24 = 7² + 24 = 49 + 24 = 73 et 10x = 10 × 7 = 70.
73 ≠ 70 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 6 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 8² = π × 64 = 64π
a) L'aire exacte est 64π m².
64 × 3,14 = 200,96
b) L'aire vaut environ 201 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 8², et non (π × 8)². On élève 8 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 17 et 75. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.