Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (9 + 8) × 8 = 17 × 8 = 136
B = 9 + 8 × 8 = 9 + 64 = 73
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
D = 63 − 7 × 7 est une différence : c'est la différence entre 63 et le produit de 7 par 7.
E = 7 + 9 × 9 est une somme : c'est la somme de 7 et du produit de 9 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 29 = 174 ≤ 177 < 180 = 6 × 30 : le quotient est 29, le reste 177 − 174 = 3.
177 = 6 × 29 + 3, avec 3 < 6.
26 × 91 = 2 366 ≤ 2 375 < 2 392 = 26 × 92 : le quotient est 91, le reste 2 375 − 2 366 = 9.
2 375 = 26 × 91 + 9, avec 9 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 234 = 11 × 20 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 234 = 11 × 22 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 234 = 11 × 21 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 3.
Comme 3 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 234 par 21 : quotient 11, reste 3.
3. 145 = 7 × 20 + 5
a) 145 jours font 20 semaines complètes et 5 jours.
Après 20 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 5 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 145 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 115 | non | non | oui | non | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
| 1 066 | oui | non | non | non | non |
| 3 609 | non | oui | non | oui | non |
| 9 190 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
115 → 1 + 1 + 5 = 7 201 → 2 + 0 + 1 = 3 1 066 → 1 + 0 + 6 + 6 = 13
3 609 → 3 + 6 + 0 + 9 = 18 9 190 → 9 + 1 + 9 + 0 = 19
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 5 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 6 : 12
2 solutions : 150, 156.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 558, somme des chiffres 18.
« 139 est un multiple de 9. » Faux. 139 = 9 × 15 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 26 + 4 × 8 = 26 + 32 = 58
B = 14 ÷ 2 × 2 = 7 × 2 = 14
C = (8 × 5 − 8) ÷ 4 = (40 − 8) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8
D = 6,4 + 2 × 0,5 = 6,4 + 1 = 7,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 5 × (4 + 4) = 8 + 5 × 8 = 8 + 40 = 48
7 × (2 − 2) + 2 = 7 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 31 × 99 = 31 × (100 − 1) = 31 × 100 − 31 × 1 = 3 100 − 31 = 3 069
F = 26 × 39 + 26 × 61 = 26 × (39 + 61) = 26 × 100 = 2 600
G = 8 × 28 × 125 = 8 × 125 × 28 = 1 000 × 28 = 28 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 10 × 10 = 10² 0,7 × 0,7 = 0,7²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²)
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 6 = 5 × 36 − 6 = 180 − 6 = 174
B = (5 × 6)² − 6 = 30² − 6 = 900 − 6 = 894
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 7 = 3 × 3² − 7 = 3 × 9 − 7 = 27 − 7 = 20
B = (3x)² − 7 = (3 × 3)² − 7 = 9² − 7 = 81 − 7 = 74
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 58 et 113. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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