Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 6)² = 7² = 49
B = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 5.
D = 9² − 1 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 1.
E = 9 + 9 × 2 est une somme : c'est la somme de 9 et du produit de 9 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 48 = 288 ≤ 290 < 294 = 6 × 49 : le quotient est 48, le reste 290 − 288 = 2.
290 = 6 × 48 + 2, avec 2 < 6.
22 × 61 = 1 342 ≤ 1 363 < 1 364 = 22 × 62 : le quotient est 61, le reste 1 363 − 1 342 = 21.
1 363 = 22 × 61 + 21, avec 21 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 457 = 12 × 39 − 11 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 457 = 12 × 37 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 457 = 12 × 38 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 38, reste 1.
Comme 1 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 457 par 38 : quotient 12, reste 1.
3. 400 = 7 × 57 + 1
a) 400 jours font 57 semaines complètes et 1 jour.
Après 57 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 1 jour : mardi → mercredi.
b) Dans 400 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 344 | oui | non | non | non | non |
| 561 | non | oui | non | non | non |
| 185 | non | non | oui | non | non |
| 1 260 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 7 353 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
5 344 → 5 + 3 + 4 + 4 = 16 561 → 5 + 6 + 1 = 12 185 → 1 + 8 + 5 = 14
1 260 → 1 + 2 + 6 + 0 = 9 7 353 → 7 + 3 + 5 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 1 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 621.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 74 est un multiple de 5. » Faux. 74 = 5 × 14 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 13 + 8 = 38 + 8 = 46
B = 7 × 5 − 4 × 6 = 35 − 24 = 11
C = (5 × 4 − 1) ÷ 2 = (20 − 1) ÷ 2 = 19 ÷ 2 = 9,5
D = [4 + 8 × (8 − 5)] ÷ 2 = [4 + 8 × 3] ÷ 2 = [4 + 24] ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 8 − (6 + 5) = 8 + 8 − 11 = 16 − 11 = 5
9 × 3 − (9 + 4) = 9 × 3 − 13 = 27 − 13 = 14
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 29 + 12,6 + 71 = 29 + 71 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 39 × 11 = 39 × (10 + 1) = 39 × 10 + 39 × 1 = 390 + 39 = 429
G = 41 × 39 − 41 × 29 = 41 × (39 − 29) = 41 × 10 = 410
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 × 5 = 5³ 10 × 10 = 10²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« (4 + 2)² = 4² + 2² » Faux. (4 + 2)² = 6² = 36, alors que 4² + 2² = 16 + 4 = 20.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
19 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 19 < 25 = 5²) 36 = 6² : carré
66 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 66 < 81 = 9²) 104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 2 = 2 × 36 − 2 = 72 − 2 = 70
B = (2 × 6)² − 2 = 12² − 2 = 144 − 2 = 142
C = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
D = (2 + 1)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : n² + 2n = 3² + 2 × 3 = 9 + 2 × 3 = 9 + 6 = 15
Pour n = 10 : n² + 2n = 10² + 2 × 10 = 100 + 2 × 10 = 100 + 20 = 120
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 59 et 120. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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