Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 19 − 5 × 2 = 19 − 10 = 9
B = (19 − 5) × 2 = 14 × 2 = 28
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 31 − 5 × 3 est une différence : c'est la différence entre 31 et le produit de 5 par 3.
D = 4² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 1.
E = 6 × (16 − 10) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 16 et 10.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 163 = 978 ≤ 981 < 984 = 6 × 164 : le quotient est 163, le reste 981 − 978 = 3.
981 = 6 × 163 + 3, avec 3 < 6.
12 × 82 = 984 ≤ 989 < 996 = 12 × 83 : le quotient est 82, le reste 989 − 984 = 5.
989 = 12 × 82 + 5, avec 5 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 273 = 8 × 34 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 273 = 8 × 33 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 273 = 8 × 35 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 34, reste 1.
Comme 1 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 273 par 34 : quotient 8, reste 1.
3. 233 = 20 × 11 + 13
En 11 soirs, elle lit 220 pages ; il lui en reste encore 13.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 13 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 415 | non | non | oui | non | non |
| 2 072 | oui | non | non | non | non |
| 957 | non | oui | non | non | non |
| 1 053 | non | oui | non | oui | non |
| 4 360 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
415 → 4 + 1 + 5 = 10 2 072 → 2 + 0 + 7 + 2 = 11 957 → 9 + 5 + 7 = 21
1 053 → 1 + 0 + 5 + 3 = 9 4 360 → 4 + 3 + 6 + 0 = 13
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 9 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 192, 198.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 75 est divisible par 3 (75 = 3 × 25) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 119 est un multiple de 7. » Vrai. 119 = 7 × 17 : le reste de la division de 119 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 30 + 8 × 9 = 30 + 72 = 102
B = 6 ÷ 3 × 2 = 2 × 2 = 4
C = (6 × 7 − 9) ÷ 2 = (42 − 9) ÷ 2 = 33 ÷ 2 = 16,5
D = [5 + 2 × (6 − 3)] ÷ 5 = [5 + 2 × 3] ÷ 5 = [5 + 6] ÷ 5 = 11 ÷ 5 = 2,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + 8 − (2 + 5) = 2 + 8 − 7 = 10 − 7 = 3
2 × (4 + 8) − 9 = 2 × 12 − 9 = 24 − 9 = 15
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 31 + 0,75 + 69 = 31 + 69 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 39 × 9 = 39 × (10 − 1) = 39 × 10 − 39 × 1 = 390 − 39 = 351
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²) 27 = 3³ : cube
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
100 = 10² : carré 103 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 103 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 8 = 2 × 9 − 8 = 18 − 8 = 10
B = (2 × 3)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 2² + 7² = 4 + 49 = 53
D = (2 + 7)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 5 = 1² + 5 = 1 + 5 = 6 et 6n = 6 × 1 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 8 : n² + 5 = 8² + 5 = 64 + 5 = 69 et 6n = 6 × 8 = 48.
69 ≠ 48 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 1 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 24 et 47. » → encore 22 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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