Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (15 + 18) ÷ 3 = 33 ÷ 3 = 11
B = 15 + 18 ÷ 3 = 15 + 6 = 21
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 8 + 6 × 9 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 6 par 9.
E = (2 + 8) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 8 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 133 = 665 ≤ 668 < 670 = 5 × 134 : le quotient est 133, le reste 668 − 665 = 3.
668 = 5 × 133 + 3, avec 3 < 5.
18 × 43 = 774 ≤ 780 < 792 = 18 × 44 : le quotient est 43, le reste 780 − 774 = 6.
780 = 18 × 43 + 6, avec 6 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 171 = 6 × 27 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 171 = 6 × 29 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 171 = 6 × 28 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 28, reste 3.
Comme 3 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 171 par 28 : quotient 6, reste 3.
3. 194 = 7 × 27 + 5
a) 194 jours font 27 semaines complètes et 5 jours.
Après 27 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 5 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 194 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 500 | oui | non | oui | non | oui |
| 987 | non | oui | non | non | non |
| 6 046 | oui | non | non | non | non |
| 1 539 | non | oui | non | oui | non |
| 565 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 500 → 8 + 5 + 0 + 0 = 13 987 → 9 + 8 + 7 = 24 6 046 → 6 + 0 + 4 + 6 = 16
1 539 → 1 + 5 + 3 + 9 = 18 565 → 5 + 6 + 5 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 5 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 750.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 783, somme des chiffres 18.
« 162 est un multiple de 9. » Vrai. 162 = 9 × 18 : le reste de la division de 162 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 40 − 15 + 15 = 25 + 15 = 40
B = 17 + 36 ÷ 4 × 2 = 17 + 9 × 2 = 17 + 18 = 35
C = (3 × 7 − 5) ÷ 4 = (21 − 5) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4
D = 7,9 + 5 × 2,5 = 7,9 + 12,5 = 20,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 3) × 5 + 5 = 6 × 5 + 5 = 30 + 5 = 35
2 + 8 − (7 + 2) = 2 + 8 − 9 = 10 − 9 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
F = 38 × 51 + 38 × 49 = 38 × (51 + 49) = 38 × 100 = 3 800
G = 2 × 26 × 5 = 2 × 5 × 26 = 10 × 26 = 260
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 × 5 = 5³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 2 = 3 × 16 − 2 = 48 − 2 = 46
B = (3 × 4)² − 2 = 12² − 2 = 144 − 2 = 142
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 12 = 2² + 12 = 4 + 12 = 16 et 8n = 8 × 2 = 16.
16 = 16 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 5 : n² + 12 = 5² + 12 = 25 + 12 = 37 et 8n = 8 × 5 = 40.
37 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 2 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 16 et 49. » → encore 32 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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