Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 6)² = 12² = 144
B = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (10 + 6) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 10 et 6 par 8.
D = 29 − 2 × 5 est une différence : c'est la différence entre 29 et le produit de 2 par 5.
E = 15 + 9 × 5 est une somme : c'est la somme de 15 et du produit de 9 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 108 = 324 ≤ 326 < 327 = 3 × 109 : le quotient est 108, le reste 326 − 324 = 2.
326 = 3 × 108 + 2, avec 2 < 3.
17 × 106 = 1 802 ≤ 1 817 < 1 819 = 17 × 107 : le quotient est 106, le reste 1 817 − 1 802 = 15.
1 817 = 17 × 106 + 15, avec 15 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 486 = 12 × 41 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 486 = 12 × 39 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 486 = 12 × 40 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 40, reste 6.
Comme 6 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 486 par 40 : quotient 12, reste 6.
3. 335 = 30 × 11 + 5
En 11 soirs, elle lit 330 pages ; il lui en reste encore 5.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 5 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 119 | non | oui | non | oui | non |
| 4 980 | oui | oui | oui | non | oui |
| 395 | non | non | oui | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 1 112 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 119 → 7 + 1 + 1 + 9 = 18 4 980 → 4 + 9 + 8 + 0 = 21 395 → 3 + 9 + 5 = 17
897 → 8 + 9 + 7 = 24 1 112 → 1 + 1 + 1 + 2 = 5
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 3 + □ = 5 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 234.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 78 est divisible par 3 (78 = 3 × 26) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 154 est un multiple de 7. » Vrai. 154 = 7 × 22 : le reste de la division de 154 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 86 − 6 × 6 = 86 − 36 = 50
B = 18 ÷ 3 × 4 = 6 × 4 = 24
C = 88 − 4 × (10 − 5) = 88 − 4 × 5 = 88 − 20 = 68
D = 2,6 + 4 × 0,2 = 2,6 + 0,8 = 3,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 4 − (3 + 6) = 5 + 4 − 9 = 9 − 9 = 0
3 × (4 + 6) − 2 = 3 × 10 − 2 = 30 − 2 = 28
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 30 × 99 = 30 × (100 − 1) = 30 × 100 − 30 × 1 = 3 000 − 30 = 2 970
F = 2,7 × 0,4 + 2,7 × 0,6 = 2,7 × (0,4 + 0,6) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 25 + 12,6 + 75 = 25 + 75 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 × 4 = 4³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 99 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 99 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 129 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 129 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 3 = 3 × 4 − 3 = 12 − 3 = 9
B = (3 × 2)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 6 : (x + 5)² = (6 + 5)² = 11² = 121
Pour x = 0,5 : (x + 5)² = (0,5 + 5)² = 5,5² = 30,25
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 64 et 108. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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