Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 10 − 2 × 3 = 10 − 6 = 4
B = (10 − 2) × 3 = 8 × 3 = 24
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 9.
D = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
E = 2 × 8² est un produit : c'est le double du carré de 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 77 = 693 ≤ 698 < 702 = 9 × 78 : le quotient est 77, le reste 698 − 693 = 5.
698 = 9 × 77 + 5, avec 5 < 9.
29 × 26 = 754 ≤ 757 < 783 = 29 × 27 : le quotient est 26, le reste 757 − 754 = 3.
757 = 29 × 26 + 3, avec 3 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 153 = 15 × 9 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 153 = 15 × 11 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 153 = 15 × 10 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 10, reste 3.
Comme 3 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 153 par 10 : quotient 15, reste 3.
3. 221 = 7 × 31 + 4
a) 221 jours font 31 semaines complètes et 4 jours.
Après 31 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 4 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 221 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 823 | non | oui | non | oui | non |
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 1 568 | oui | non | non | non | non |
| 8 160 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
5 823 → 5 + 8 + 2 + 3 = 18 215 → 2 + 1 + 5 = 8 501 → 5 + 0 + 1 = 6
1 568 → 1 + 5 + 6 + 8 = 20 8 160 → 8 + 1 + 6 + 0 = 15
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 2 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 432.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 112. » Vrai. 112 = 8 × 14 : le reste de la division de 112 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 46 − 4 × 7 = 46 − 28 = 18
B = 12 ÷ 6 × 2 = 2 × 2 = 4
C = (4 + 6) × 5 − 4 = 10 × 5 − 4 = 50 − 4 = 46
D = 4 × [37 − (8 + 8)] = 4 × [37 − 16] = 4 × 21 = 84
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 8 − (5 − 2) = 5 + 8 − 3 = 13 − 3 = 10
7 × (8 + 4) + 7 = 7 × 12 + 7 = 84 + 7 = 91
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 52 + 7,8 + 48 = 52 + 48 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 32 × 99 = 32 × (100 − 1) = 32 × 100 − 32 × 1 = 3 200 − 32 = 3 168
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 0,7 × 0,7 = 0,7² 5 × 5 × 5 = 5³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²) 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 6 = 5 × 4 − 6 = 20 − 6 = 14
B = (5 × 2)² − 6 = 10² − 6 = 100 − 6 = 94
C = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
D = (5 + 7)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 10 = 2² + 10 = 4 + 10 = 14 et 7n = 7 × 2 = 14.
14 = 14 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 6 : n² + 10 = 6² + 10 = 36 + 10 = 46 et 7n = 7 × 6 = 42.
46 ≠ 42 : l'égalité est fausse pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 2 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 158 :
12² = 144 ≤ 158 et 13² = 169 > 158.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
158 − 144 = 14
b) Il lui restera 14 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 61 et 94. » → encore 32 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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