Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4 + 6 × 2 = 4 + 12 = 16
B = (4 + 6) × 2 = 10 × 2 = 20
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = (3 + 4) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 4 par 9.
E = (10 + 2) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 2 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 76 = 532 ≤ 533 < 539 = 7 × 77 : le quotient est 76, le reste 533 − 532 = 1.
533 = 7 × 76 + 1, avec 1 < 7.
24 × 45 = 1 080 ≤ 1 085 < 1 104 = 24 × 46 : le quotient est 45, le reste 1 085 − 1 080 = 5.
1 085 = 24 × 45 + 5, avec 5 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 119 = 8 × 15 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 119 = 8 × 14 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 119 = 8 × 13 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 7.
Comme 7 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 119 par 14 : quotient 8, reste 7.
3. 148 = 20 × 7 + 8
En 7 soirs, elle lit 140 pages ; il lui en reste encore 8.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 8 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 678 | oui | non | non | non | non |
| 715 | non | non | oui | non | non |
| 6 237 | non | oui | non | oui | non |
| 8 710 | oui | non | oui | non | oui |
| 951 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 678 → 5 + 6 + 7 + 8 = 26 715 → 7 + 1 + 5 = 13 6 237 → 6 + 2 + 3 + 7 = 18
8 710 → 8 + 7 + 1 + 0 = 16 951 → 9 + 5 + 1 = 15
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 0 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 720.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 84 est divisible par 3 (84 = 3 × 28) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 61 est un multiple de 4. » Faux. 61 = 4 × 15 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 65 − 6 × 4 = 65 − 24 = 41
B = 12 ÷ 3 × 4 = 4 × 4 = 16
C = (7 × 9 − 6) ÷ 2 = (63 − 6) ÷ 2 = 57 ÷ 2 = 28,5
D = 3 × [27 − (4 + 5)] = 3 × [27 − 9] = 3 × 18 = 54
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 9 − (5 + 9) = 5 + 9 − 14 = 14 − 14 = 0
5 × (2 + 7) + 4 = 5 × 9 + 4 = 45 + 4 = 49
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 24 × 99 = 24 × (100 − 1) = 24 × 100 − 24 × 1 = 2 400 − 24 = 2 376
F = 14 + 12,6 + 86 = 14 + 86 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 38 × 17 + 38 × 83 = 38 × (17 + 83) = 38 × 100 = 3 800
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 12 × 12 = 12² 2 × 2 × 2 = 2³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 34 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 34 < 36 = 6²)
98 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 98 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 3 = 4 × 16 − 3 = 64 − 3 = 61
B = (4 × 4)² − 3 = 16² − 3 = 256 − 3 = 253
C = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
D = (1 + 2)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 30 = 6² + 30 = 36 + 30 = 66 et 11x = 11 × 6 = 66.
66 = 66 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Pour x = 3 : x² + 30 = 3² + 30 = 9 + 30 = 39 et 11x = 11 × 3 = 33.
39 ≠ 33 : l'égalité est fausse pour x = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 6 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 9² = π × 81 = 81π
a) L'aire exacte est 81π m².
81 × 3,14 = 254,34
b) L'aire vaut environ 254 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 9², et non (π × 9)². On élève 9 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 253 et 307. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.