Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (27 + 9) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12
B = 27 + 9 ÷ 3 = 27 + 3 = 30
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8² − 37 est une différence : c'est la différence entre le carré de 8 et 37.
D = 5 × (7 − 5) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 7 et 5.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 29 = 232 ≤ 233 < 240 = 8 × 30 : le quotient est 29, le reste 233 − 232 = 1.
233 = 8 × 29 + 1, avec 1 < 8.
25 × 44 = 1 100 ≤ 1 123 < 1 125 = 25 × 45 : le quotient est 44, le reste 1 123 − 1 100 = 23.
1 123 = 25 × 44 + 23, avec 23 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 146 = 6 × 24 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 146 = 6 × 23 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 146 = 6 × 25 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 24, reste 2.
Comme 2 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 146 par 24 : quotient 6, reste 2.
3. 50 = 16 × 3 + 2
3 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 2 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 2 = 14 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 861 | non | oui | non | non | non |
| 4 329 | non | oui | non | oui | non |
| 3 206 | oui | non | non | non | non |
| 3 600 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
565 → 5 + 6 + 5 = 16 861 → 8 + 6 + 1 = 15 4 329 → 4 + 3 + 2 + 9 = 18
3 206 → 3 + 2 + 0 + 6 = 11 3 600 → 3 + 6 + 0 + 0 = 9
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 7 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 117.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 83 est un multiple de 5. » Faux. 83 = 5 × 16 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 15 + 4 × 3 = 15 + 12 = 27
B = 56 ÷ 8 × 2 = 7 × 2 = 14
C = 74 − 2 × (18 − 9) = 74 − 2 × 9 = 74 − 18 = 56
D = [3 + 3 × (7 − 3)] ÷ 2 = [3 + 3 × 4] ÷ 2 = [3 + 12] ÷ 2 = 15 ÷ 2 = 7,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × 4 − (9 + 3) = 7 × 4 − 12 = 28 − 12 = 16
9 × (7 + 4 − 6) = 9 × (11 − 6) = 9 × 5 = 45
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,8 + 3,6 × 0,2 = 3,6 × (0,8 + 0,2) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 30 + 12,6 + 70 = 30 + 70 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 28 × 11 = 28 × (10 + 1) = 28 × 10 + 28 × 1 = 280 + 28 = 308
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 = 6²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
« (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²)
112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 9 = 2 × 36 − 9 = 72 − 9 = 63
B = (2 × 6)² − 9 = 12² − 9 = 144 − 9 = 135
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 9 = 4 × 4² − 9 = 4 × 16 − 9 = 64 − 9 = 55
B = (4x)² − 9 = (4 × 4)² − 9 = 16² − 9 = 256 − 9 = 247
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 102 :
10² = 100 ≤ 102 et 11² = 121 > 102.
a) Elle mettra 10 dalles sur chaque côté.
102 − 100 = 2
b) Il lui restera 2 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 51. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 4, 16, 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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