Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 9 + 9 ÷ 3 = 9 + 3 = 12
B = (9 + 9) ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
D = (6 + 39) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 6 et 39 par 9.
E = 30 − 2 × 7 est une différence : c'est la différence entre 30 et le produit de 2 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 32 = 288 ≤ 293 < 297 = 9 × 33 : le quotient est 32, le reste 293 − 288 = 5.
293 = 9 × 32 + 5, avec 5 < 9.
28 × 50 = 1 400 ≤ 1 415 < 1 428 = 28 × 51 : le quotient est 50, le reste 1 415 − 1 400 = 15.
1 415 = 28 × 50 + 15, avec 15 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 195 = 6 × 32 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 195 = 6 × 31 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 195 = 6 × 33 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 32, reste 3.
Comme 3 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 195 par 32 : quotient 6, reste 3.
3. 38 = 8 × 4 + 6
4 minibus pleins transportent 32 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 6 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 760 | oui | oui | oui | non | oui |
| 6 489 | non | oui | non | oui | non |
| 7 126 | oui | non | non | non | non |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 685 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 760 → 2 + 7 + 6 + 0 = 15 6 489 → 6 + 4 + 8 + 9 = 27 7 126 → 7 + 1 + 2 + 6 = 16
627 → 6 + 2 + 7 = 15 685 → 6 + 8 + 5 = 19
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 3 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 5 : 9 ; □ = 8 : 12
3 solutions : 123, 153, 183.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 5 est un diviseur de 110. » Vrai. 110 = 5 × 22 : le reste de la division de 110 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 72 − 3 × 7 = 72 − 21 = 51
B = 20 ÷ 4 × 3 = 5 × 3 = 15
C = (3 + 11) × 6 − 3 = 14 × 6 − 3 = 84 − 3 = 81
D = [3 + 6 × (12 − 2)] ÷ 5 = [3 + 6 × 10] ÷ 5 = [3 + 60] ÷ 5 = 63 ÷ 5 = 12,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × 4 − (6 + 7) = 8 × 4 − 13 = 32 − 13 = 19
(8 − 2 + 2) × 5 = (6 + 2) × 5 = 8 × 5 = 40
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 2 × 39 × 50 = 2 × 50 × 39 = 100 × 39 = 3 900
G = 43 × 99 = 43 × (100 − 1) = 43 × 100 − 43 × 1 = 4 300 − 43 = 4 257
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 4 × 4 × 4 = 4³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
108 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 108 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 9 = 5 × 25 − 9 = 125 − 9 = 116
B = (5 × 5)² − 9 = 25² − 9 = 625 − 9 = 616
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 5 = 2² + 5 = 4 + 5 = 9 et 6x = 6 × 2 = 12.
9 ≠ 12 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Pour x = 1 : x² + 5 = 1² + 5 = 1 + 5 = 6 et 6x = 6 × 1 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 1 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 287 et 352. » → encore 64 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 289, 324.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 324.
Le nombre mystère est 324 (324 = 18²).
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